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--- 품질관리특론-중간고사 [2012/09/15 21:06]
moonrepeat [4번 문제]
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-====== 품질관리특론-중간고사 ======
-===== 2012년 1학기 품질관리특론-중간고사 =====
-==== 1번 문제 & 답 ====
- 다음의 자료는 재료의 코팅종류를 다르게 하여 4번씩 반복하여 재료의 전도성을 측정한 결과이다.(유의수준은 0.05임)
-^  코팅타입  ^  전도성  ||||
-^  1  |  143  |  141  |  150  |  146  |
-^  2  |  142  |  149  |  137  |  143  |
-) 두 경우 [[분산]]이 같은가?
-) [[평균]]은 같다고 할 수 있는가?
-) [[분산]]이 동일하다는 가정하에서 타입2에서 전도성이 150을 넘을 확률은 얼마인가?
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-) 수기 계산
-  * 두 [[모집단]]의 [[분산]] 비교시 "[[두 표본 F검정]]"을 사용
-  * [[귀무가설]]
-    * $$H_{0} : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$$
-  * [[검정통계량]]
-    * $$ F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} $$
-    * $$ F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} = \frac{3.9158^{2}}{4.9244^{2}} = 0.6323 $$
-      * 단 $S^{2}$은 [[표본분산]]
-  * [[대립가설]] 및 [[기각역]]
-    * $$ H_{1} : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \ \rightarrow \ f_{0} > F_{\alpha/2} (n_{1} - 1, n_{2} - 1)$$
-    * $ f_{0} = 0.6323 <  F_{0.025}(3,3) = 15.439 $이므로
-      * 단 $\alpha=0.05$, $n_{1}=4$, $n_{2}=4$일 때 [[F분포표]] 참조
-    * [[귀무가설]]을 [[기각]]할 수 없다. 즉 두 [[모집단]]의 [[분산]]이 같다고 할 수 있다.
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-) [[Minitab]] 계산
-  * 데이터 입력
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-01-001.png?200|}}
-  * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "두 표본 분산" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-01-002.png?500|}}
-  * 결과 : [[p-value]]가 0.716 이므로 [[귀무가설]]을 [[기각]]할 수 없다. 즉 두 [[모집단]]의 [[분산]]이 같다고 할 수 있다.
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-01-003.png?300|}}
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-) 수기 계산
-  * 두 [[모집단]]의 [[평균]] 비교시 "[[두 표본 t검정]]"을 사용 ([[분산]] 모름, 두 [[분산]] "1)" 결과에 의거 같다고 가정)
-  * [[귀무가설]]
-    * $$H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$$
-  * [[검정통계량]]
-    * $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{S_{p}\sqrt{1/n_{1} + 1/n_{2}}} = \frac{145 - 142.75}{4.4488 \sqrt{1/4+1/4}} = 0.7152$$
-      * 단 [[합동분산]] $S_{p}^{2}$은 아래와 같다.
-      * $$ \begin{displaymath}\begin{split} S_{p}^{2} &= \frac{(n_{1} - 1)S_{1}^{2} + (n_{2} - 1)S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2} \\ &= \frac{3 \times 3.9158^{2} + 3 \times 4.9244^{2}}{4+4-2} = 19.7916 \end{split}\end{displaymath} $$
-      * $S_{p} = \sqrt{19.7916} = 4.4488$
-  * [[대립가설]]과 [[기각역]]
-    * $$ H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{\alpha/2} (n_{1} + n_{2} - 2) $$
-    * $ | t_{0} | = 0.7152 < t_{0.025}(6) = 2.3060 $ 이므로
-      * 단 $\alpha=0.05$, $n_{1}=4$, $n_{2}=4$일 때 [[t분포표]] 참조
-    * [[귀무가설]]을 [[기각]]할 수 없다. 즉 두 [[모집단]]의 [[평균]]이 같다고 할 수 있다.
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-) [[Minitab]] 계산
-  * 데이터 입력
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-01-001.png?200|}}
-  * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "2-표본 t검정" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-02-002.png?500|}}
-  * 결과 : [[p-value]]가 0.501 이므로 [[귀무가설]]을 [[기각]]할 수 없다. 즉 두 [[모집단]]의 [[평균]]은 같다고 할 수 있다.
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-02-003.png?400|}}
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-) 수기 계산
-  * 두 [[모집단]]의 [[분산]]이 동일하다고 가정 하므로 [[합동분산]]인 $4.4488^2$을 [[분산]]으로 사용
-  * 코팅 타입 2의 [[평균]]은 142.75 사용
-  * $P(Y > 150) = P(Z > \frac{150-142.75}{4.4488}) = P(Z > 1.6296) = 0.051551$ ([[표준정규분포표]] 참조)
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-) [[Minitab]] 계산
-  * 메뉴 : "계산" → "확률 분포" → "정규 분포" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-03-001.png?400|}}
-  * 결과 : 확률은 $1-0.948413 = 0.051587$
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_01-03-002.png?300|}}
-==== 2번 문제 & 답 ====
- 부품의 내경치수에 대한 규격은 [95,105]로 주어져 있다. 하루에 100개 생산된다. 무작위로 뽑은 부품 20개의 내경치수는 다음과 같이 주어져 있다. ([[유의수준]]은 0.05임)
-|  103.2  |  96.6  |  106.5  |  100.6  |  102.5  |  94.0  |  102.1  |  99.4  |  101.9  |  104.5  |
-|  101.5  |  102.1  |  104.0  |  96.9  |  100.2  |  99.0  |  101.0  |  97.4  |  100.9  |  107.8  |
-) [[부적합률]]은 얼마인가? 90% [[신뢰구간]]을 구하라.
-) [[정규분포]]를 따른다고 할 수 있는가? [[평균]]과 [[분산]]의 90% [[신뢰구간]]을 구하라.
-) [[정규분포]] 가정하에서 하루에 [[부적합품]]이 5개 이하일 [[확률]]을 구하라.
-) [[평균]]이 100인가를 [[검정]]하고 이에 근거하여 [[공정능력지수]]를 구하라.
-) [[분산]]을 감소시키고자 노력하였다. 이 활동 후 5개의 부품의 치수를 검사한 결과 (101.1, 102.3, 102.5, 101.9)를 얻었다. 과연 [[분산]]이 작아 졌다고 할 수 있는가?
-) 내경치수의 [[평균]]이 100이면 동일한 [[분산]]하에서 가장 [[부적합률]]이 적을 것이다. [[평균검정]]([[분산]]이 3으로 알려진 경우)을 위해 몇개의 부품을 측정하여야 하는가? 평균이 103일 때 잘못 판단할 확률이 20%를 만족하는 조건으로 정하라.
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- [[표본평균]] $\overline{X} = 101.11 $
- [[표본표준편차]] $s = 3.3528$
- [[표본분산]] $s^{2} = 3.3528^{2} = 11.2413$
- 제품 규격 : [95,105]
-) 수기 계산
-|  103.2  |  96.6  ^  106.5  |  100.6  |  102.5  ^  94.0  |  102.1  |  99.4  |  101.9  |  104.5  |
-|  101.5  |  102.1  |  104.0  |  96.9  |  100.2  |  99.0  |  101.0  |  97.4  |  100.9  ^  107.8  |
-  * [[부적합률]]
-    * 20개의 제품 중 3개가 불량이므로 부적합률은 0.15
-  * [[부적합률]]에 대한 90% [[신뢰구간]]은
-    * $$ \left( \ \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ , \ \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ \right) $$
-    * $$ \left(0.15 - 1.645 \times \sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{20}} , 0.15 + 1.645 \times \sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{20}}\right) = (0.0187, 0.2813) $$
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-) Minitab 계산
-  * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "정규성 검정" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-01-001.png?800|}}
-  * 결과 : [[신뢰구간]]은 (0.042169, 0.343664)
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-01-002.png?300|}}
- 주) 수기 계산 방법은 정규 근사 방식이라 [[Minitab]]과 결과가 다름
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-) 수기 계산
-  * [[정규성 검정]]을 손으로 계산하기는 어려움
-  * [[평균]]의 90% [[신뢰구간]] ([[모분산]]을 모를 때)
-    * $$ \left( \overline{x} - t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \ \overline{x} + t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$
-    * $$ \left( 101.11 - 1.7291 \cdot \frac{3.3528}{\sqrt{20}}, \ 101.11 + 1.7291 \cdot \frac{3.3528}{\sqrt{20}} \right) = (99.8137, 102.406) $$
-  * [[분산]]의 90% [[신뢰구간]]
-    * $$ \left( \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2} (n-1)} \ , \ \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1 - \alpha/2} (n-1)} \right) $$
-    * $$ \left( \frac{19 \times 3.3528^{2}}{30.1435} \ , \frac{19 \times 3.3528^{2}}{10.1170} \right) = (7.0856, 21.1114) $$
-----
-) Minitab 계산
-  * [[정규성 검정]]
-    * 데이터 입력
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-001.png?100|}}
-    * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "정규성 검정" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-002.png?400|}}
-    * 결과 : p-value가 0.882 이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 [[모집단]]은 [[정규분포]]를 따른다고 할 수 있다.
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-003.png?400|}}
-  * [[평균]]의 90% [[신뢰구간]]
-    * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "1-표본 t 검정" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-004.png?600|}}
-    * 결과 : [[신뢰구간]]은 (99.809, 102.401)
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-005.png?400|}}
-  * [[분산]]의 90% [[신뢰구간]]
-    * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "단일 표본 분산" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-006.png?700|}}
-    * 결과 : [[신뢰구간]]은 (7.1, 21.1)
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-02-007.png?350|}}
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-) 수기 계산
-  * 하루 생산량 : $n=100$
-  * 불량률
-    * [[정규분포]] 가정시 불량률 : $P(95>X)+P(105<X) = P(\frac{95-101.11}{3.3528}>Z)+P(\frac{105-101.11}{3.3528}>Z)=0.1572$
-  * n이 충분히 크므로 [[이항분포]] $b(100, 0.1572)$는 [[정규분포]] $N(15.72, 13.2488)$로 근사 가능 ([[이항분포를 정규분포로 근사]] 참고)
-  * 즉 100개중 5개 이하 나오는 [[확률]]은 [[정규분포]] $N(15.72, 13.2488)$에서 0.786 이하일 확률과 같음
-    * $$P(X < 0.786) = P(Z < \frac{0.786-15.72}{\sqrt{13.2488}}) = P(Z < -4.10287) \approx 0$$
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-) [[Minitab]] 계산
-  * 메뉴 : "계산" → "확률 분포" → "이항 분포" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-03-001.png?400|}}
-  * 결과 : 5개 이하일 [[확률]]은 : 0.0008588
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-03-002.png?200|}}
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-) 수기 계산
-  * [[평균]]이 100 인지 검정
-    *  [[귀무가설]]
-      * $$H_{0} : \mu = \mu_{0}$$
-    * [[검정통계량]]
-      * $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{S/\sqrt{n}} = \frac{101.11-100}{3.3528/\sqrt{20}}=1.4806$$
-    * [[대립가설]]과 [[기각역]]
-      * $$ H_{1} : \mu \neq \mu_{0} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{1-\alpha/2} (n-1) $$
-      * $| \ t_{0} \ | = 1.4806 > t_{1-\alpha/2} (n-1) = $ 이므로
-      * [[귀무가설]]을 기각할 수 없다. 즉 [[모집단]]의 [[평균]]은 100 이라고 할 수 있다.
-  *  [[공정능력지수]]는
-    * $$ C_{p} = \frac{\mathrm{USL} - \mathrm{LSL}}{6 \cdot \sigma} = \frac{105-95}{6 \times 3.3528} = 0.4971$$
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-) [[Minitab]] 계산
-  * [[평균]]이 100 인지 검정
-    * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "1-표본 t 검정" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-04-001.png?400|}}
-    * 결과 : [[p-value]]가 0.157 이므로 [[귀무가설]]을 기각할 수 없다. 즉 [[모집단]]의 [[평균]]은 100 이라고 할 수 있다.
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-04-002.png?400|}}
-  * [[공정능력지수]]
-    * 메뉴 : "통계분석" → "품질 도구" → "공정 능력 분석" → "정규 분포"  선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-04-003.png?400|}}
-    * 결과 : 공정늘력지수 값인 Cp값이 0.44
-      * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-04-004.png?727|}}
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-) 수기 계산
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-) [[Minitab]] 계산
-  * 데이터 입력
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-05-001.png?200|}}
-  * 메뉴 : "통계분석" → "기초 통계" → "두 표본 분산" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-05-002.png?800|}}
-  * 결과 : [[p-value]]가 0.009 이므로 [[귀무가설]]을 기각 한다. 즉 [[모집단]]의 [[분산]]이 작아졌다고 할 수 있다.
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-05-003.png?350|}}
-----
-) 수기 계산
-  * [[검정력]] 또는 [[2종 오류]]의 [[확률]]을 만족하는 표본크기 계산은 손으로 계산이 어려움
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-) [[Minitab]] 계산
-  * 메뉴 : "통계분석" → "검정력 및 표본크기" → "1-표본 Z 검정" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-06-001.png?600|}}
-      * 차이 : $103 - 100 = 3$
-      * 검정력 : $1 - \beta = 1 - 0.2 = 0.8$ ($\beta$는 [[2종 오류]]가 일어날 확률 [[확률]])
-      * 표준편차 : $\sqrt{3} = 1.7321$
-      * 대립가설 : $\mu \neq \mu_{0}$
-      * 유의수준 : $\alpha = 0.05$ ($\alpah$는 [[1종 오류]]가 일어날 [[확률]])
-  * 결과 : 최적의 표본크기는 3 이다.
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_02-06-001.png?589|}}
-==== 3번 문제 & 답 ====
- 자동차를 생산하는 경우 하나의 자동차에 나타나는 [[불량품]]의 수는 [[포아송분포]]를 따른다고 한다. ([[평균]] 3개) 하루 생산되는 20대의 자동차 수에 적어도 하나 이상의 결함이 있는 자동차가 1대 미만일 [[확률]]을 구하라.
-----
- 수기 계산
-  * 한 대의 자동차에서 불량품이 0일 [[확률]] ([[포아송분포]]의 [[확률질량함수]] 이용)
-    * $$p(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} = \frac{3^{0} e^{-3}}{0!} = 0.0498$$
-  * 20대의 자동차 수에 적어도 하나 이상의 결함이 있는 자동차가 1대 미만일 [[확률]] → 20대의 자동차 모두에서 불량이 하나도 없을 [[확률]] ([[이항분포]]의 [[확률질량함수]] 이용)
-    * $$ p(x)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x}(1-p)^{n-x} = \begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}0.0498^{0}(1-0.0498)^{20-0} = 0.3600 $$
-----
- [[Minitab]] 계산
-  * 메뉴 : "계산" → "확률 분포" → "포아송" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_03-01-001.png?350|}}
-  * 결과 : 한 대의 자동차에서 불량품이 0일 [[확률]]은 0.0497871
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_03-01-002.png?150|}}
-  * 메뉴 : "계산" → "확률 분포" → "이항 분포" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_03-01-003.png?350|}}
-  * 결과 : 20대의 자동차 모두에서 불량이 하나도 없을 [[확률]]은 0.360096
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_03-01-004.png?200|}}
-==== 4번 문제 ====
-) 주어진 측정 자료로부터 [[측정기]]의 [[Repeatability]] ([[반복성]], 동일측정자), [[Reproducibility]] ([[재현성]], 측정자간)를 구하라.
-) 측정기의 [[편의]]와 [[선형성]]을 평가하라.
-) 측정기로 참값이 100인 부품을 측정하면 103보다 크다고 할 확률은 얼마인가?
-) 측정자간의 상관계수를 구하라.
-^  부품  ^  측정자  ^  측정치  ^  참값  |
-|  1  |  1  |  21.1  |  20  |
-|  1  |  1  |  22.0  |:::|
-|  1  |  2  |  25.9  |:::|
-|  1  |  2  |  22.7  |:::|
-|  2  |  1  |  30.6  |  30  |
-|  2  |  1  |  31.0  |:::|
-|  2  |  2  |  28.5  |:::|
-|  2  |  2  |  33.0  |:::|
-|  3  |  1  |  51.2  |  50  |
-|  3  |  1  |  51.1  |:::|
-|  3  |  2  |  48.3  |:::|
-|  3  |  2  |  46.7  |:::|
-----
-)
-  * 데이터 입력
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_04-01-001.png?300|}}
-  * 메뉴 : "통계분석" → "품질 도구" → "Gage 연구" → "Gage R&R (교차) 연구" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_04-01-002.png?400|}}
-  * 결과 : 반복성(Repeatability)는 1.51%, 재현성(Reproducibility)은 1.99%이다.
-    * [[ANOVA]] Table에서 부품에 의한 변동은 유의하고, 측정자 및 측정자와 부품의 [[교호작용]]은 유의하지 않아야 바람직한 측정 시스템이다. 하지만 측정자와 부품의 [[교호작용]]에 대한 [[p-value]]가 0.093으로 유의 할 수 있으므로 측정시스템이 양호하다고 할 수는 없다.
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_04-01-003.png?400|}}
-    * {{:산업공학_산업대학원:quality_middle_04-01-004.png?400|}}
-)
-  * 메뉴 : "통계분석" → "품질 도구" → "Gage 연구" → "Gage 선형성 및 치우침 연구" 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인 (15.3729는 "1)"에서 나온 총 Gage R&R의 6*SD 값임)
-    * {{산업공학_산업대학원quality_middle_04-01-005.png?400}}
-  * 결과 : 선형성이 11.3%이므로 개선이 요구된다. (선형성%이 1% 미만이면 양호, 10% 이상 이면 개선 필요, 1~9% 이면 주변 여건에 따라 적절히 개선)
-    * {{산업공학_산업대학원quality_middle_04-01-006.png?400}}
-)
-==== 5번 문제 & 답 ====
- [[FMEA]]에서 심각도 8, 발생도 6, 검출도 4이다. 3개중 하나를 0.5 감소시킬 수 있다고 하자. 어느것을 줄이는 것이 [[RPN]]을 가장 적게 하는가?
-----
- [[RPN]] = 심각도 * 발생도 * 검출도
- [[RPN]]은 낮을 수록 좋음
-  * 심각도를 0.5 줄일 경우 : 7.5 * 6 * 4 = 180
-  * 발생도를 0.5 줄일 경우 : 8 * 5.5 * 4 = 176
-  * 검출도를 0.5 줄일 경우 : 8 * 6 * 3.5 = 168
- 수치가 가장 작은 검출도를 줄일는 것이 RPN을 줄이는데 유리하다.
-----
-  * [[산업공학 산업대학원]]
-  * [[품질관리특론]]

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