====== 감마분포 (Gamma Distribution) ======
===== 정의 =====

  * [[지수분포]]의 확장판
===== 표기 =====
 $\alpha$ : 모양 매개변수

 $\beta$ : 크기 매개변수

 $$ X \sim G(\alpha , \beta)$$

  * $$ \alpha \in ( \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
  * $$ \beta \in ( \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
===== 받침 =====
 $$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
===== 확률밀도함수 =====
 $$ f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^\alpha} \right] \cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta} $$

<plot>
 set title "Gamma Distribution PDF"
 set size 1.0
 set xrange [0:20]
 set yrange [0:0.5]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 f(x,a,b) = (1/(gamma(a)*(b**a)))*(x**(a-1))*exp(-x/b)

 plot f(x,1,2.0) title "G(1,2.0)", \
  f(x,2,2.0) title "G(2,2.0)", \
  f(x,3,2.0) title "G(3,2.0)", \
  f(x,5,1.0) title "G(5,1.0)", \
  f(x,9,0.5) title "G(9,0.5)"
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ F(x) = P \left( \ \alpha \ , \ \frac{x}{\beta} \ \right) $$

 단, $P \left( \ a \ , \ b \ \right)$는 [[정칙 감마함수]]이다.

<plot>
 set title "Gamma Distribution CDF"
 set size 1.0
 set xrange [0:20]
 set yrange [0:1.1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "F(x)"

 f(x,a,b) = igamma(a,x/b)

 plot f(x,1,2.0) title "G(1,2.0)", \
  f(x,2,2.0) title "G(2,2.0)", \
  f(x,3,2.0) title "G(3,2.0)", \
  f(x,5,1.0) title "G(5,1.0)", \
  f(x,9,0.5) title "G(9,0.5)"
</plot>
===== 기대값 =====
 $$ E(X) = \alpha \beta $$
===== 최빈값 =====
 $$ Mo = (\alpha - 1) \beta $$
===== 분산 =====
 $$ Var(X) = \alpha \beta^{2} $$
===== 왜도 =====
 $$ \gamma_{1} = \frac{2}{\sqrt{\alpha}} $$
===== 첨도 =====
 $$ \gamma_{2} = \frac{6}{\alpha} $$
===== 특성함수 =====
 $$ \phi \ (t) = (1-\beta \cdot i \cdot t)^{-\alpha} $$
===== 적률생성함수 =====
 $$ M(t) = (1-\beta \cdot t)^{-\alpha} $$
===== 특징 =====
  - [[재생성]]을 가진다.
    * $X_{i} \sim G(\alpha_{i},\beta)$이면 $\sum X_{i} \sim G(\sum \alpha_{i},\beta)$이 성립한다.
===== 타 분포와의 관계 =====
  * [[지수분포와 감마분포 관계]]
  * [[감마분포와 카이스퀘어분포 관계]]
  * [[감마분포와 포아송분포 관계]]

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  * [[분포]]
  * [[연속형 분포]]