====== 기대값 (Expectation, Expected Value) ======
===== 정의 =====
 [[확률변수]]가 주어졌을 때 동일한 [[확률실험]]을 무한히 수행한 결과들 [[평균]]의 기대치를 의미한다.
===== 이산형 확률변수 X의 기대값 =====
 [[확률변수]] $X$가 [[이산형]]([[이산형 확률변수]])일 때, $X$의 [[기대값]] $E(X)$는 아래와 같이 정의된다.

  * $$ E(X)= \sum_{x \in R_{x}} x \cdot p(x) $$
===== 이산형 확률변수 g(X)의 기대값 =====
 $g(X)$를 [[이산형 확률변수]] $X$의 [[함수]]라 하고 그 [[기대값]]이 존재할 때, $g(X)$의 [[기대값]]은 아래와 같이 구한다.

  * $$ E[ \ g(X) \ ] = \sum_{x \in R_{x}} g(x) \cdot p(x) $$
===== 연속형 확률변수 X의 기대값 =====
 [[확률변수]] $X$가 [[연속형]]([[연속형 확률변수]])일 때, $X$의 [[기대값]] $E(X)$는 아래와 같이 정의된다.

  * $$ E(X)= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $$
===== 연속형 확률변수 g(X)의 기대값 =====
 $g(X)$를 [[연속형 확률변수]] $X$의 [[함수]]라 하고 그 [[기대값]]이 존재할 때, $g(X)$의 [[기대값]]은 아래와 같이 구한다.

  * $$ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) \ dx $$
===== 유용한 식 1 =====
 [[확률변수]] $X$와 임의의 상수 $c$에 대해서 아래와 같은 결과가 성립한다.

  - $$ E(c) = c $$
  - $$ E[ \ c \cdot g(X) \ ] = c \cdot E[ \ g(X) \ ] $$
  - $$ E[ \ h(X) + g(X) \ ] = E[ \ h(X) \ ] + E[ \ g(X) \ ] $$
===== 유용한 식 2 =====
 [[모집단]]의 분포와 관계없이 성립하는 [[기대값]]

  - $$ E(\overline{x}) = \mu $$
  - $$ E(S^{2}) = \sigma^{2} $$
  - $$ E(\overlin{s} / c_{4}) = \sigma $$
  - $$ E(\overline{R} / d_{2}) = \sigma $$

 [[모집단]]이 [[정규분포]]를 따를 때

  - $$ E(W) = d_{2} $$
    * 단, $W$는 [[상대범위]]
===== 다양한 분포들의 기대값 =====
^    **분포**    ^    **기대값**    |   
|    [[베르누이분포]]    |    $$p$$    |   
|    [[이항분포]]    |    $$np$$    |   
|    [[음이항분포]]    |    $$\frac{r(1-p)}{p}$$    |   
|    [[기하분포]]    |    $$\frac{1-p}{p}$$    |   
|    [[초기하분포]]    |    $$\frac{nM}{N}$$    |   
|    [[포아송분포]]    |    $$\lambda$$    |   
|    [[다항분포]]    |    $$n_{i} p_{i}$$    |   
|    [[균일분포]]    |    $$\frac{a+b}{2}$$    |   
|    [[삼각형분포]]    |    $$\frac{a+m+b}{3}$$    |   
|    [[정규분포]]    |    $$\mu$$    |   
|    [[절반정규분포]]    |    $$\frac{1}{\theta}$$    |   
|    [[지수분포]]    |    $$\lambda^{-1}$$    |   
|    [[어랑분포]]    |       |   
|    [[감마분포]]    |    $$\alpha \beta$$    |   
|    [[베타분포]]    |    $$\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$    |   
|    [[와이블분포]]    |    $$\alpha \cdot \Gamma \left( a + \frac{1}{\beta} \right)$$    |   
|    [[대수정규분포]]    |    $$e^{\mu + \sigma^{2}/2}$$    |   
|    [[맥스웰분포]]    |    $$2 \alpha \sqrt{\frac{2}{\pi}}$$    |   
|    [[레일리분포]]    |    $$s \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$    |   
|    [[라플라스분포]]    |    $$\mu$$    |   
|    [[카이분포]]    |    $$\frac{\sqrt{2} \ \Gamma \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) }{\Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) }$$    |   
|    [[카이스퀘어분포]]    |    $$\nu$$    |   
|    [[t분포]]    |    $$0$$    |   
|    [[F분포]]    |    $$\frac{\nu_{2}}{\nu_{2} - 2}$$    |