====== 분산 (Variance) ======
===== 정의 =====
 [[분산]]은 [[평균]]을 중심으로 자료의 흩어진 정도가 어느 정도인지를 측정하는 것이다. [[분산]]이란 각 값으로부터 [[평균]]을 뺀 [[편차]]를 제곱한 후, 그 수를 모두 더하여 총 자료수로 나눈 값이다.

 [[확률변수]] $X$의 [[분산]] $Var(X)$는 아래와 같이 구한다.

  * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var(X) &= E \{ X - E(X) \}^{2} \\ &= E \{ (X - \mu)^{2} \} \\ &= E(X^{2}) - \mu^{2} \\ &= \sigma^{2} \end{split}\end{displaymath} $$

===== 유용한 식 1 =====
  * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var[[h(X)]] &= E \{ h(X) - E[[h(X)]] \}^{2} \\ &= E \{ [[h(X)]]^{2} \} - \{ E[[h(X)]] \}^{2} \end{split}\end{displaymath} $$

  * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var(aX + b) &= E \{ (aX+b) - E(aX + b) \}^{2} \\ &= E[[aX+b - aE(X) - b]]^{2} \\ &= a^{2} E \{ (X - \mu)^{2} \} \\ &= a^{2} \sigma^{2} \end{split}\end{displaymath} $$
===== 유용한 식 2 =====
 [[모집단]]의 [[분포]]를 모를 경우

  * $$ Var(S^{2}) = \frac{1}{n} \left[[ \mu_{4} - \sigma^{4} \frac{(n-3)}{(n-1)} \right]] $$
    * 단, $\mu_{k}$는 $k$차 [[중심적률]]

 [[모집단]]이 [[정규분포]]를 따를 경우

  - $$ Var(S^{2}) = \frac{2 \sigma^{4}}{n-1} $$
  - $$ Var(W) = d_{3}^{ \ 2} $$
    * $W$는 [[상대범위]]
===== 다양한 분포들의 분산 =====
^    **분포**    ^    **분산**    |
|    [[베르누이분포]]    |    $$p(1-p)$$    |
|    [[이항분포]]    |    $$np(1-p)$$    |
|    [[음이항분포]]    |    $$\frac{r(1-p)}{p^{2}}$$    |
|    [[기하분포]]    |    $$\frac{1-p}{p^{2}}$$    |
|    [[초기하분포]]    |    $$n \left( \frac{M}{N} \right) \left( \frac{N-M}{N} \right) \left( \frac{N-n}{N-1} \right)$$    |
|    [[포아송분포]]    |    $$\lambda$$    |
|    [[다항분포]]    |    $$n_{i} p_{i} (1 - p_{i})$$    |
|    [[균일분포]]    |    $$\frac{(b-a)^{2}}{12}$$    |
|    [[삼각형분포]]    |    $$\frac{1}{18} (a^{2} + m^{2} + b^{2} - am - ab - mb)$$    |
|    [[정규분포]]    |    $$\sigma^{2}$$    |
|    [[절반정규분포]]    |    $$\frac{\pi - 2}{2 \theta^{2}}$$    |
|    [[지수분포]]    |    $$\lambda^{-2}$$    |
|    [[어랑분포]]    |       |
|    [[감마분포]]    |    $$\alpha \beta^{2}$$    |
|    [[베타분포]]    |    $$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}$$    |
|    [[와이블분포]]    |    $$\alpha^{2} \left[[ \Gamma \left( 1+\frac{2}{\beta} \right) - \Gamma^{2} \left( 1+\frac{1}{\beta} \right) \right]]$$    |   
|    [[대수정규분포]]    |    $$e^{2 \mu + \sigma^{2}} \ (e^{\sigma^{2}} - 1})$$    |   
|    [[맥스웰분포]]    |    $$\frac{\alpha^{2} (3 \pi -8)}{\pi}$$    |   
|    [[레일리분포]]    |    $$\frac{4 - \pi}{2} s^{2}$$    |   
|    [[라플라스분포]]    |    $$2b^{2}$$    |   
|    [[카이분포]]    |    $$\frac{2 \left[[ \Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) \cdot \Gamma \left( 1 + \frac{1}{2} \nu \right) - \Gamma^{2} \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) \right]]}{\Gamma^{2} \left( \frac{1}{2} \nu \right)}$$    |   
|    [[카이스퀘어분포]]    |    $$2 \nu$$    |   
|    [[t분포]]    |    $$\frac{\nu}{\nu - 2}$$    |   
|    [[F분포]]    |    $$\frac{2 \nu_{2}^{ \ 2} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{1} (\nu_{2} - 2)^{2} (\nu_{2} - 4)}$$    |