====== 어랑분포 (Erlang Distribution) ======
===== 정의 =====
 [[어랑분포]]는 [[포아송과정]]에서 $n$번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간의 [[분포]]이다. 사건 발생간격시간은 [[지수분포]]이므로 [[어랑분포]]는 [[지수분포]] [[확률변수]]들의 합의 [[분포]]가 된다. 
===== 기원 =====
 [[지수분포]], [[정규분포]], [[균일분포]], [[와이블분포]] 등과 비슷한 [[분포]]인 [[어랑분포]]는 [[연속 확률 변수]]에서 파생된 [[분포]]이다. 이 [[분포]]는 덴마크의 수학자인 Agner Krarup Erlang 에서 이름을 따왔다. 이 덴마크의 수학자는 코펜하겐 전화국에서 전화의 지연과 손실에 대한 문제에 대해서 일하고 있었다. A.K. Erlang 은 1909 년에 자신의 첫번째 논문인 The theory of probability and telelphone conversations 에서 이 문제에 대해 자세히 설명했다.
===== 표기 =====
 $$ X \sim Erlang( \ n \ , \ \lambda \ ) $$
===== 받침 =====
 $$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
===== 확률밀도함수 =====
 $$ f(x) = \frac{\lambda^{n} \cdot x^{n-1}}{\Gamma(n)} \cdot e^{- \lambda \cdot x} $$

<plot>
 set title "Erlang Distribution PDF"
 set size 1.0
 set xrange [0:10]
 set yrange [0:1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 erlang(x,n,lambda)=(lambda**n)/(gamma(n))*(x**(n-1))*(exp(-lambda*x))

 plot  erlang(x,1,1) title "Erlang(1,1)", \
  erlang(x,2,1) title "Erlang(2,1)", \
  erlang(x,2,2) title "Erlang(2,2)"
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ \begin{displaymath}\begin{split} F(x) &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} e^{-\lambda \cdot x} \frac{(\lambda \cdot x)^{k}}{k!} \\ &= 1 - \frac{\Gamma(n,x \cdot \lambda)}{\Gamma(n)} \end{split}\end{displaymath} $$

<plot>
 set title "Erlang Distribution CDF"
 set size 1.0
 set xrange [0:10]
 set yrange [0:1.1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 cerlang(x,n,lambda)=(igamma(n,x*lambda))/(gamma(n))

 plot cerlang(x,1,1.0) title "Erlang(1,1)", \
  cerlang(x,2,1.0) title "Erlang(2,1)", \
  cerlang(x,2,2.0) title "Erlang(2,2)"
</plot>
===== 기대값 =====
 $$ E(X) =  \frac{n}{\lambda} $$
===== 최빈값 =====
 $$ Mo =  \frac{n-1}{\lambda} $$
===== 분산 =====
 $$ Var(X) =  \frac{n}{\lambda^{2}} $$
===== 왜도 =====
 $$ \gamma_{1} = \frac{2}{\sqrt{k}} $$
===== 첨도 =====
 $$ \gamma_{2} = \frac{6}{n} $$
===== 특성함수 =====
 $$ \phi (t) = \left( 1-\frac{i \cdot t}{\lambda} \right)^{-n} $$
===== 적률생성함수 =====
 $$ M(t) = \left( 1-\frac{t}{\lambda} \right)^{-n} $$

 단, $n< \lambda$인 경우에만 성립

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  * [[분포]]