====== 오차함수 (Error Function : Erf) ======
===== 정의 =====
 [[오차함수]]는 [[확률론]], [[통계학]], [[편미분 방정식]]등에서 사용하는 [[비초등 함수]]이다.  [[가우스 오차 함수]] 라고도 하며 다음과 같이 정의된다.

  * $$ \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt $$

<plot>
 set size 1
 set xrange [-2:2]
 set yrange [-1.1:1.1]
 set zeroaxis

 plot erf(x) title "x"
</plot>

 오른쪽 항을 [[테일러 급수]]로 전개하여 [[적분]]하면 모든 [[실수]] $x$에 대해 다음과 같은 식을 얻는다.

 $$\mathrm{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right) $$
===== 여오차함수 =====
 [[여오차함수]]는 $\mathrm{erfc}$라고 쓰며 [[오차함수]]를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

  * $$ \mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt $$

<plot>
 set size 1
 set xrange [-2:2]
 set yrange [-0.1:2.1]
 set zeroaxis

 plot erfc(x) title "x"
</plot>
===== 복소오차함수 =====
 [[복소오차함수]]는 $w(x)$라고 쓰며 [[오차함수]]를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

  * $$ w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix) $$
===== 정규분포와의 관계 =====
 [[오차함수]]는 [[정규분포]]의 [[누적분포함수]]와 본질적으로 동일하다.  $\Phi$라고 쓰며 상수배하거나 평행이동하는 차이 밖에 없다.

  * $$ \Phi(x) = \frac{1}{2}\Big[1+\mbox{erf}\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)\Big] $$

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 $$ \mathrm{erfi} (z) = -i \mathrm{erf} (iz) $$