====== 정규분포 (Normal Distribution) ======
===== 정의 =====
===== 기원 =====
 [[정규분포]]는 [[드무아브르]]가 1733년 쓴 글에서 특정 [[이항분포]]의 n이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》 2판(1738년)에 다시 실렸다. 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.

 [[라플라스]]는 실험 오차를 분석하면서 [[정규분포]]를 사용했다. 1805년에는 [[르장드르]]가 매우 중요한 방법인 [[최소 제곱법]]을 도입했다. [[가우스]]는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 [[정규분포]]를 따른다는 가정하에 [[최소 제곱법]]을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.

 이 분포가 최초의 발견자 이름을 따지 않고 [[가우스 분포]]로 불리는 것은 과학적 발견은 그 최초 발견자의 이름을 따지 않는다는 스티글러의 명명법칙의 한 예이다.
===== 표기 =====
 [[확률변수]] $X$가 [[평균]] $\mu$, [[분산]] $\sigma^{2}$을 갖는 [[정규분포]]라 한다면 아래와 같이 표기 한다.

  * $$ X \sim N(\mu , \sigma^{2})$$
    * $$ \mu \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$
    * $$ \sigma^{2} \in ( \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
===== 받침 =====
 $$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$
===== 확률밀도함수 =====
 $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left[ - \frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}} \right] $$

<plot>
 set title "Normal Distribution PDF"
 set size 1
 set xrange [-5:5]
 set yrange [0:1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 f(x,y,z) = (1/(sqrt(2*pi)*sqrt(z)))*exp(-((x-y)**2)/(2*z)) 

 plot f(x,0,0.2) title "N(0,0.2)", \
  f(x,0,1.0) title "N(0,1.0)", \
  f(x,0,5.0) title "N(0,5.0)", \
  f(x,-2,0.5) title "N(-2,0.5)"
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \mathrm{erf} \left( \frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] $$

  * 단, $\mathrm{erf}(x)$ 는 [[오차함수]]

<plot>
 set title "Normal Distribution CDF"
 set size 1
 set xrange [-5:5]
 set yrange [0:1.1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "F(x)"

 f(x,y,z) = norm((x-y)/sqrt(z))

 plot f(x,0,0.2) title "N(0,0.2)", \
  f(x,0,1.0) title "N(0,1.0)", \
  f(x,0,5.0) title "N(0,5.0)", \
  f(x,-2,0.5) title "N(-2,0.5)"
</plot>
===== 기대값 =====
 $$E(X)=\mu$$
===== 중앙값 =====
 $$ Mdn = \mu $$
===== 최빈값 =====
 $$ Mo = \mu $$
===== 분산 =====
 $$Var(X)=\sigma^{2}$$
===== 왜도 =====
 $$ \gamma_{1} = 0 $$
===== 첨도 =====
 $$ \gamma_{2} = 0 $$
===== 특성함수 =====
 $$ \phi \ (t) = \exp \left( \mu \ i \ t - \frac{\sigma^{2} t^{2}}{2} \right) $$
===== 적률생성함수 =====
 $$ M(t) = \exp \left( \mu \ t + \frac{\sigma^{2} t^{2}}{2} \right) $$

 $$ M'(t) = (\mu + \sigma^{2} t) \cdot \exp \left[ \mu t + \sigma^{2} t^{2} / 2 \right] $$

 $$ M''(t) = \left[ \sigma^{2} + (\mu + \sigma^{2} t)^{2} \right] \cdot \exp \left[ \mu t + \sigma^{2} t^{2} / 2 \right] $$
===== 원적률 =====
 $$ \mu'_{0} = 1 $$

 $$ \mu'_{1} = \mu $$

 $$ \mu'_{2} = \mu^{2} + \sigam^{2} $$

 $$ \mu'_{3} = \mu^{3} + 3 \mu \sigma^{2} $$

 $$ \mu'_{4} = \mu^{4} + 6 \mu^{2} \sigma^{2} + 3 \sigma^{4} $$
===== 중심적률 =====
 $$ \mu_{1} = 0 $$

 $$ \mu_{2} = \sigma^{2} $$

 $$ \mu_{3} = 0 $$

 $$ \mu_{4} = 3 \sigma^{4} $$
===== 특징 =====
  * [[재생성]]을 가진다.
    * $X_{i} \sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2})$이면 $\sum X_{i} \sim N(\sum \mu_{i},\sum \sigma_{i}^{2})$이 성립한다.

  * 만약 $X \sim N(\mu,\sigma^{2})$이고 $a, \ c \ (c \neq 0)$가 [[상수]]이며, $Y=a+cX$라는 관계가 있으면 $Y \sim N(a + c \mu,c^{2} \sigma^{2})$과 같은 [[분포]]를 가진다.
===== 타 분포와의 관계 =====
  * [[정규분포와 카이스퀘어 분포 관계]]
  * [[정규분포와 t분포 관계]]
  * [[이항분포를 정규분포로 근사]]
  * [[포아송분포를 정규분포로 근사]]

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  * [[중심극한정리]]
  * [[표준정규분포]]
  * [[표준정규분포표]]
{{tag>통계 확률분포 연속형분포}}