====== 카이스퀘어분포 (Chi-squre Distribution) ======
===== 정의 =====
 [[카이스퀘어분포]]는 [[감마분포]]의 특별한 경우로 $X \sim G(\nu/2 , 2)$를 따르는 [[감마분포]] 이다. 즉 [[감마분포]]에서 $\alpha=\nu/2 , \beta=2$인 분포이다.
===== 표기 =====
 [[확률변수]] $X$가 자유도 $\nu$인 [[카이스퀘어분포]]일 경우 아래와 같이 표기 한다.

  * $ X \sim \chi^{2}(\nu)$
===== 받침 =====
 $$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
===== 확률밀도함수 =====
 $$ f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\nu/2) \cdot 2^{\nu/2}} \right] \cdot x^{(\nu/2)-1} \cdot e^{-x/2} $$

<plot>
 set title "Chi-squre Distribution PDF"
 set size 1
 set xrange [0:15]
 set yrange [0:0.2]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 log2 = 0.693147180559945
 chi(x,df1)=exp((0.5*df1-1.0)*log(x)-0.5*x-lgamma(0.5*df1)-df1*0.5*log2)

 plot chi(x,4) title "df = 4", \
  chi(x,6) title "df = 6", \
  chi(x,8) title "df = 8"
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ F(x) = P \left( \ \frac{1}{2} \nu \ , \ \frac{1}{2} x \ \right) $$

<plot>
 set title "Chi-squre Distribution CDF"
 set size 1
 set xrange [0:15]
 set yrange [0:1.1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "F(x)"
 set key left

 cchi(x,df1)=igamma(0.5*df1,0.5*x)

 plot cchi(x,4) title "df = 4", \
  cchi(x,6) title "df = 6", \
  cchi(x,8) title "df = 8"
</plot>

 단, $P(\alpha,\beta)$는 [[정칙 감마함수]]이다.
===== 기대값 =====
 $$E(X)=\nu$$
===== 분산 =====
 $$Var(X)=2\nu$$
===== 왜도 =====
 $$ \gamma_{1} = 2 \sqrt{\frac{2}{\nu}} $$
===== 첨도 =====
 $$ \gamma_{2} = \frac{12}{\nu} $$
===== 특성함수 =====
 $$ \phi \ (t) = (1-2 i t)^{-\nu/2} $$
===== 적률생성함수 =====
 $$ M(t) = (1-2t)^{-\nu/2} $$
===== 원적률 =====
  * $ \mu'_{1} = \nu $
  * $ \mu'_{2} = \nu ( \nu + 2) $
  * $\mu'_{3} = \nu ( \nu + 2)( \nu + 4) $
  * $\mu'_{4} = \nu ( \nu + 2)( \nu + 4)( \nu + 6) $

  * $\mu'_{k} = \nu ( \nu + 2) \ \cdots \ ( \nu + 2 k - 2) $
===== 중심적률 =====
  * $ \mu_{2} = 2 \nu $
  * $ \mu_{3} = 8 \nu $
  * $ \mu_{4} = 12 \nu ( \nu + 4) $
  * $ \mu_{5} = 32 \nu ( 5 \nu + 12) $

  * $ \mu_{k} = 2^{k} \ U( \ -k \ , \ 1 - k - \frac{1}{2} \nu \ , \ - \frac{1}{2} \nu \ ) $

   * 단, $U( \ a \ , \ b \ , \ x \ )$ ??함수(confluent hypergeometric function of the second kind)이다. (FIXME)
===== 특징 =====
  - [[재생성]]을 가진다.
   - $ X_{i} \sim \chi^{2}(\nu_{i})$이면 $\sum X_{i} \sim \chi^{2}(\sum \nu_{i})$이 성립한다.
===== 타 분포와의 관계 =====
  * [[정규분포와 카이스퀘어분포 관계]]
  * [[감마분포와 카이스퀘어분포 관계]]

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  * [[분포]]
  * [[카이스퀘어분포표]]