====== 표준정규분포 (Standard Normal Distribution) ======
===== 정의 =====
 [[표준정규분포]]는 [[정규분포]]에서 [[평균]]  $\mu = 0$이고, [[분산]] $\sigma^2 = 1$인 [[분포]]를 말한다.
===== 표기 =====
 [[확률변수]] $X$가 [[평균]] $\mu = 0$, [[분산]] $\sigma^{2} = 1$을 갖는 [[표준정규분포]]라 한다면 아래와 같이 표기 한다.

 $$ X \sim N(0 , 1)$$
===== 받침 =====
 $$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$
===== 확률밀도함수 =====
 $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}} $$

<plot>
 set title "Standard Normal Distribution PDF"
 set size 1.0
 set xrange [-5:5]
 set yrange [0:0.5]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 f(x,y,z) = (1/(sqrt(2*pi)*sqrt(z)))*exp(-((x-y)**2)/(2*z))

 plot f(x,0,1) title "N(0,1)"
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \mathrm{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right] $$

 단, $\mathrm{erf}(x)$는 [[오차함수]])

<plot>
 set title "Standard Normal Distribution CDF"
 set size 1.0
 set xrange [-5:5]
 set yrange [0:1.1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "F(x)"

 f(x,y,z) = norm((x-y)/sqrt(z))

 plot f(x,0,1) title "N(0,1)"
</plot>
===== 기대값 =====
 $$E(X) = 0$$
===== 중앙값 =====
 $$ Mdn = 0 $$
===== 최빈값 =====
 $$ Mo = 0 $$
===== 분산 =====
 $$Var(X) = 1$$
===== 왜도 =====
 $$ \gamma_{1} = 0 $$
===== 첨도 =====
 $$ \gamma_{2} = 0 $$
===== 타 분포와의 관계 =====
  * [[정규분포와 카이스퀘어분포 관계]]
  * [[정규분포와 t분포 관계]]
===== 참고사항 =====
 [[표준정규분포]]에서 $Z_{\alpha}$는 아래와 같이 정의 된다.

  * $$ \alpha = 1 - F(Z_{\alpha}) $$
  * $$ \alpha = \int^{\infty}_{Z_{\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ dx $$

{{:통계:normal_distribution_zalpha.png|}}

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 [[표준정규분포]]에서 $\Phi (a)$는 아래와 같이 정의 된다.

  * $$ \Phi (z) = F(z) $$
  * $$ \Phi (z) = \int^{z}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ dx $$

{{:통계:normal_distribution_phiz.png|}}

 단, $F(x)$는 [[표준정규분포]]의 [[누적분포함수]]이다.

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  * [[정규분포]]
  * [[표준정규분포표]]