단일 표본 모평균 구간추정

$x_{1}, \ ... \ ,x_{n}$을 정규분포 $N(\mu , \sigma^{2})$로 부터의 확률표본의 관측값이라 할 때, 모평균 $\mu$에 대한 $100(1-\alpha)\%$의 양측 신뢰구간은 아래와 같다.

1. (모분산 $\sigma^{2}$을 알 때)
   • $$ \left( \overline{x} - z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \ \overline{x} + z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $$
2. (모분산 $\sigma^{2}$을 모를 때)
   • $$ \left( \overline{x} - t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \ \overline{x} + t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$

만약 모분산 $\sigma^{2}$을 모르지만 $n$이 충분히 크면, 근사적인 모평균 $\mu$에 대한 $100(1-\alpha)\%$의 양측 신뢰구간은 아래와 같다.

• $$ \left( \overline{x} - z_{\alpha / 2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \ \overline{x} + z_{\alpha / 2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$ (모분산 $\sigma^{2}$을 모르지만 $n$이 충분히 클 때)

모분산 $\sigma^{2}$을 알고 있는 경우. 모평균 $\mu$에 대한 $100(1 - \alpha) \%$인 신뢰구간의 길이가 $2d$이하 (또는 추정오차가 $d$이하일 확률이 $1 - \alpha$) 가 되도록 하는 데 필요한 표본크기 $n$은

• $$ n \geq \left( z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{d} \right)^{2} $$

을 만족하는 최소의 정수이다.

• 구간추정