역사적으로 자연수의 엄밀한 수학적 정의는 여러 어려움을 겪으면서 만들어졌다. 페아노의 공리는 어떤 엄밀한 정의라도 반드시 만족해야 할 조건들을 제시하고, 집합론의 경우 특정한 구성(construction)을 사용해서 페아노의 공리를 만족하는 모델이 존재한다는 것을 보일 수 있다.
페아노의 공리
a에 대해서 그 다음 수 S(a)가 존재한다.a와b에 대해서, 그 다음 수 S(a)와 S(b) 또한 서로 다르다.k가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 S(k) 또한 그 성질을 만족하면, 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 수학적 귀납법이 올바르다는 것을 보장해 준다.)여기서 정의에 사용된 “0”는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.
수학자들은 N 또는 $\mathbb{N}$ 을 모든 자연수의 집합을 나타내는 데 사용한다. 이 집합은 정의에 따라서 무한 집합이지만 가산 집합이다.
집합에 0이 포함되었는지 아닌지를 분명히 하기 위해서 첨자 “0”이나 “*”를 붙이기도 한다. 즉,
(종종 첨자 “+“가 “양수”를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 “음수가 아닌” 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 $\mathbb{R}_{+} = [0, \infty )$ , $\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ 이다. 첨자 “*”는 0이 아니거나, 역원이 존재하는 원소들의 집합을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.)
어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 “범자연수”(whole number)의 집합을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 범자연수는 종종 여기서 설명하는 자연수를 가리키기도 하고, 정수를 가리키기도 한다.