집합 (Set)

수학에서 집합은 여러 대상들의 모임을 말하며, 집합을 다루는 이론을 집합론이라고 한다. 19세기 말에 개발된 집합론은 수학의 다른 이론들에 비해 역사가 짧은 편이나, 현대 수학의 거의 모든 이론은 집합론을 토대로 이루어져 있다.

집합은 서로 구별되는 대상들을 순서와 무관하게 모은 것을 말한다. 이 때 집합에 속하는 각각의 대상들을 원소라고 한다. 세상에 존재하는 거의 모든 것들은 집합의 원소가 될 수 있으며, 이는 숫자나 사람, 글자, 집합 등을 포함한다. 집합은 일반적으로 라틴 알파벳 대문자 A, B, C 등으로 표시된다. 만약 두 집합 A와 B의 원소가 전부 같다면 A = B라고 쓰고, 두 집합이 같은 집합이라고 말한다.

수학에서는 집합을 묘사하기 위해 일반적으로 원소나열법과 조건제시법의 두 가지가 방법을 사용한다.

• 원소나열법
  • 이 방식은 집합에 들어있는 원소들을 직접 나열하는 방식이다.
    • {1, 2, 3}
    • {흰색, 검은색}
  • 또한, 원소의 수가 많고 원소들 간에 규칙이 있을 때에는 중간을 생략할 수 있다.
    • {1, 2, 3, …, 100} : 1부터 100까지의 자연수가 있는 집합
    • {2, 4, 6, …, 40} : 2부터 40까지의 짝수가 있는 집합
  • 이와 같은 표기를 사용할 때에는 규칙성을 알 수 있어야 한다. 예를 들어, {1, 4, 5, 7, …, -4}와 같은 집합에서는 중간에 생략된 숫자들이 무엇인지 추측할 수 없다.

• 조건제시법
  • 이 방법은 원소들을 구체적으로 설명하는 대신에, 원소들의 논리적 관계를 기술한다. 예를 들어,
    • { x | x는 1부터 10까지의 자연수 }
  • 와 같은 집합이 있다면, 이 집합은 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}과 동일한 집합이 된다.
  • 이것은 { (원소) | (원소의 조건) }과 같이 표기한다. 여기에서 앞의 원소 부분에 변수가 한 개만 있을 필요는 없다. 예를 들어, 다음의 설명 방식도 가능하다.
    • { x+y | x는 1 또는 2, y는 3 또는 4 } = { 4, 5, 6 }
    • { (x,y) | x ∈ {1,2}, y ∈ {1,2} } = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }

어떠한 원소가 집합에 속해 있는지를 표기할 때에는 $\in$$ , $$\notin$ 기호를 사용한다.

예를 들어, 집합 A가 A = {1, 2, 3, 4}라고 할 때 3이 집합 A에 속한다는 것을 다음과 같이 표기한다.

• $$3 \in A$$

마찬가지로, 5가 집합 A에 속하지 않는다는 것은 다음과 같이 표기한다.

• $$5 \notin A$$

집합이 가진 원소의 수를 집합의 기수(혹은 크기)라고 한다. 즉, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}는 5이다. 기수가 0인 집합도 있으며, 이를 공집합이라 부르고 Ø라는 기호로 나타낸다. 예를 들어, 변이 4개인 삼각형의 집합은 공집합이다. 집합 중에는 자연수의 집합을 비롯해 무한히 많은 원소를 가진 것도 있으며, 이를 무한 집합이라 한다.

다음의 집합들은 수학에서 매우 자주 사용되며, 따라서 특별한 기호를 배정해 나타낸다.

1. $\mathbb{N}$은 자연수의 집합이다.
2. $\mathbb{Z}$는 정수의 집합이다.
3. $\mathbb{Q}$는 유리수의 집합이다.
4. $\mathbb{R}$은 실수의 집합이다.
5. $\mathbb{C}$는 복소수의 집합이다.