테일러 급수 (Taylor Series)

함수 실수 공간 $\mathbb{R}$에서 정의된 함수 $f(x)$가 공간 $\left[a, b\right]$에서 $n$번 미분 가능하고, $f^{(n+1)}$의 값이 구간 $\left[a,b\right]$에서 존재한다고 가정하자. 또한 $x_0 \in \left[a,b\right]$이라고 하자. 이 때 모든 $x \in \left[a,b\right]$에 대해 다음 식을 만족시키는 $\epsilon(x) \in (x_0, x)$이 존재한다:

• $ f(x) = P_n(x) + R_n(x) $
  • $$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)\left(x-x_0\right) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{\left(n\right)}(x_0)}{n!}\left(x-x_0\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\left(x-x_0\right)^k $$
  • $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}\left(\epsilon\left(x\right)\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_0\right)^{n+1} $$

• $$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x$$
• $$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad\!\forall x$$
• $$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad\!\forall x$$
• $$\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1$$

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