누적분포함수 (Cumulative Distribution Function : CDF)

$X$가 표본공간 $S$상에 정의된 확률변수일 때,

• $$F(x) = P(X \leq x) = P( \{ w : X(w) \leq x \} ) \ , \ x \in R$$

로 정의되는 함수 $F$를 $X$의 누적분포함수라 하고, 분포함수라고도 한다.

함수 $F$가 누적분포함수이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. ( $a , b$ 는 임의의 실수)

1. $a < b$ 이면 $F(a) \leq F(b)$ (비감소)
2. $\lim_{h \rightarrow +0} F(a+h) = F(a)$ (우측으로부터 연속)
3. $F(-\infty) = 0 \ , \ F(+\infty) = 1$

확률변수 $X$의 누적분포함수를 $F$라 할 때, $a < b$인 임의의 두 실수 $a , b$에 대해 다음이 성립한다. ($F(a-) = \lim_{h \rightarrow +0} F(a-h)$)

1. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
2. $P(X = a) = F(a) - F(a-)$