삼원배치법 (모수모형) (반복없음)

요인 $A$는 모수인자

요인 $B$는 모수인자

요인 $C$는 모수인자

$$y_{ijk} = \mu + a_{i} + b_{j} + c_{k} + (ab)_{ij} + (ac)_{ik} + (bc)_{jk} + e_{ijk}$$

• $y_{ijk}$ : $A_{i}$ 와 $B_{j}$ , 그리고 $C_{k}$ 에서 얻은 측정값
• $\mu$ : 실험전체의 모평균
• $a_{i}$ : $A_{i}$ 가 주는 효과
• $b_{j}$ : $B_{j}$ 가 주는 효과
• $c_{k}$ : $C_{k}$ 가 주는 효과
• $(ab)_{ij}$ : $A_{i}$ 와 $B_{j}$ 의 교호작용 효과
• $(ac)_{ik}$ : $A_{i}$ 와 $C_{k}$ 의 교호작용 효과
• $(bc)_{jk}$ : $B_{j}$ 와 $C_{k}$ 의 교호작용 효과
• $e_{ijk}$ : $A_{i}$ 와 $B_{j}$ , 그리고 $C_{k}$ 에서 얻은 측정값의 오차 ( $e_{ijk} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$ 이고 서로 독립)

• $i$ : 인자 $A$ 의 수준 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
• $j$ : 인자 $B$ 의 수준 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$
• $k$ : 인자 $C$ 의 수준 수 $( k = 1,2, \cdots ,n )$

$AB$ 2원표

$AC$ 2원표

$BC$ 2원표

개개의 데이터 $y_{ijk}$와 총평균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 7부분으로 나뉘어진다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} (y_{ijk}-\overline{\overline{y}}) &= (\overline{y}_{i..} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{..k} - \overline{\overline{y}}) \\ &+ (\overline{y}_{ij.} - \overline{y}_{i..} - \overline{y}_{.j.} + \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{i.k} - \overline{y}_{i..} - \overline{y}_{..k} + \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.jk} - \overline{y}_{.j.} - \overline{y}_{..k} + \overline{\overline{y}}) \\ &+ (y_{ijk} - \overline{y}_{ij.} - \overline{y}_{i.k} - \overline{y}_{.jk} + \overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} + \overline{y}_{..k} - \overline{\overline{y}}) \end{split}\end{displaymath}$$ 양변을 제곱한 후에 모든 $i, \ j, \ k$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{ijk}-\overline{\overline{y}})^{2} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{i..} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{.j.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{..k} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{ij.} - \overline{y}_{i..} - \overline{y}_{.j.} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{i.k} - \overline{y}_{i..} - \overline{y}_{..k} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{.jk} - \overline{y}_{.j.} - \overline{y}_{..k} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{ijk} - \overline{y}_{ij.} - \overline{y}_{i.k} - \overline{y}_{.jk} + \overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} + \overline{y}_{..k} - \overline{\overline{y}})^{2} \end{split}\end{displaymath}$$ 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], $B$의 [[변동]], $C$의 [[변동]], $A, \ B$의 [[교호작용]]의 변동, $A, \ C$의 [[교호작용]]의 변동, $B, \ C$의 [[교호작용]]의 변동, [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{C}$, $S_{A \times B}$, $S_{A \times C}$, $S_{B \times C}$, $S_{E}$가 된다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{ijk}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}y_{ijk}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{i..}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\frac{T_{i..}^{ \ 2}}{mn}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{.j.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m}\frac{T_{.j.}^{ \ 2}}{ln}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{..k}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{k=1}^{n}\frac{T_{..k}^{ \ 2}}{lm}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A \times B} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{AB} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{AB} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{ij.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m} \frac{T_{ij.}^{ \ 2}}{n} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A \times C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{i.k}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{..k}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{AC} - S_{A} - S_{C} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{AC} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{i.k}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{k=1}^{n} \frac{T_{i.k}^{ \ 2}}{m} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B \times C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{.jk}-\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{..k}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{BC} - S_{B} - S_{C} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{BC} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(\overline{y}_{.jk}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n} \frac{T_{.jk}^{ \ 2}}{l} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i.k}-\overline{y}_{.jk}+\overline{y}_{i..}+\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{..k}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T}-(S_{A}+S_{B}+S_{C}+S_{A \times B}+S_{A \times C}+S_{B \times C}) \end{split}\end{displaymath}$$ ===== 자유도 ===== $$\nu_{A}=l-1$$ $$\nu_{B}=m-1$$ $$\nu_{C}=n-1$$ $$\nu_{A \times B}=\nu_{A} \times \nu_{B}=(l-1)(m-1)$$ $$\nu_{A \times C}=\nu_{A} \times \nu_{C}=(l-1)(n-1)$$ $$\nu_{B \times C}=\nu_{B} \times \nu_{C}=(m-1)(n-1)$$ $$\nu_{E}=\nu_{T}-(\nu_{A}+\nu_{B}+\nu_{C}+\nu_{A \times B}+\nu_{A \times C}+\nu_{B \times C})=(l-1)(m-1)(n-1)$$ $$\nu_{T}=lmn-1=N-1$$ ===== 평균제곱 ===== $$V_{A}=\frac{S_{A}}{\nu_{A}}$$ $$V_{B}=\frac{S_{B}}{\nu_{B}}$$ $$V_{C}=\frac{S_{C}}{\nu_{C}}$$ $$V_{A \times B}=\frac{S_{A \times B}}{\nu_{A \times B}}$$ $$V_{AB}=\frac{S_{AB}}{\nu_{AB}}$$ $$V_{A \times C}=\frac{S_{A \times C}}{\nu_{A \times C}}$$ $$V_{AC}=\frac{S_{AC}}{\nu_{AC}}$$ $$V_{B \times C}=\frac{S_{B \times C}}{\nu_{B \times C}}$$ $$V_{BC}=\frac{S_{BC}}{\nu_{BC}}$$ $$V_{E}=\frac{S_{E}}{\nu_{E}}$$ ===== 평균제곱의 기대값 ===== $$E(V_{A})=\sigma_{E}^{ \ 2} +mn \sigma_{A}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B})=\sigma_{E}^{ \ 2} +ln \sigma_{B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +lm \sigma_{C}^{ \ 2}$$ $$E(V_{A \times B})=\sigma_{E}^{ \ 2} +n \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{A \times C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +m \sigma_{A \times C}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B \times C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +l \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{E})=\sigma_{E}^{ \ 2}$$ ===== 분산분석표 ===== ^ [[요인]] ^ [[제곱합]]\\ $SS$ ^ [[자유도]]\\ $DF$ ^ [[평균제곱]]\\ $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]]\\ $S\acute{}$ ^ [[기여율]]\\ $\rho$ |

인자 $A$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$

인자 $B$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$

인자 $C$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{C}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{C}},\nu_{_{E}})$

인자 $A , \ B$의 교호작용 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A \times B}}}{V_{E}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A \times B}},\nu_{_{E}})$

인자 $A , \ C$의 교호작용 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A \times C}}}{V_{E}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A \times C}},\nu_{_{E}})$

인자 $B , \ C$의 교호작용 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{B \times C}}}{V_{E}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{B \times C}},\nu_{_{E}})$

주효과인 인자 $A, B, C$만이 유의한 경우 교호작용들이 모두 오차항에 풀링되어 버린다.

(단, $S_{E}\acute{}=S_{E}+S_{A \times B}+S_{A \times C}+S_{B \times C}, \ \nu_{E}\acute{}=\nu_{E}+\nu_{A \times B}+\nu_{A \times C}+\nu_{B \times C}, \ V_{E}\acute{}=S_{E}\acute{}/\nu_{E}\acute{}$이다.)

인자 $A$의 모평균에 관한 추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정값

$$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i..}$$

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i..} - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{mn}} \ , \ \overline{y}_{i..} + t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{mn}} \right)$

인자 $B$의 모평균에 관한 추정

$j$ 수준에서의 모평균 $\mu(B_{j})$의 점추정값

$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j.}$

$j$ 수준에서의 모평균 $\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j.} - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{ln}} \ , \ \overline{y}_{.j.} + t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{ln}} \right)$

인자 $C$의 모평균에 관한 추정

$k$ 수준에서의 모평균 $\mu(C_{k})$의 점추정값

$$\hat{\mu}(C_{k})=\widehat{\mu + c_{k}} = \overline{y}_{..k}$$

$k$ 수준에서의 모평균 $\mu(C_{k})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\hat{\mu}(C_{k})= \left( \overline{y}_{..k} - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{lm}} \ , \ \overline{y}_{..k} + t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{lm}} \right)$$

인자 $A$와 $B$ 그리고 $C$의 모평균에 관한 추정

$A$ 인자의 $i$ 수준과 $B$ 인자의 $j$ 수준, $C$ 인자의 $k$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i}B_{j}C_{k})$의 점추정값

$\hat{\mu}(A_{i}B_{j}C_{k})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}+c_{k}}=\overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} + \overline{y}_{..k} - 2 \overline{\overline{y}}$

$A$ 인자의 $i$ 수준과 $B$ 인자의 $j$ 수준, $C$ 인자의 $k$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i}B_{j}C_{k})$$의&nbsp&nbsp$$100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$\hat{\mu}(A_{i}B_{j}C_{k})= \left( (\overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} + \overline{y}_{..k} - 2\overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ )\sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} + \overline{y}_{..k} - 2\overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ )\sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{n_{e}}} \right)$

단, $n_{e}$는 유효반복수이고 $n_{e} = \frac{lmn}{l+m+n-2}$이다.

• 실험계획법
• 삼원배치법