음이항분포 (Negative Binomial Distribution)

• 여기서는 확률변수 $X$를 Fail의 횟수로 정의한다.

$$ X \sim NB(r , p)$$

• $$ r \in \{ \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \} $$
• $$ p \in [ \ 0 \ , \ 1 \ ] $$

$$ x \in \{ \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \} $$

$$p(x)=\begin{pmatrix}x+r-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{x}$$

$$ F(x) = I_{p} ( \ r \ , \ x+1 \ ) $$

$$E(X)=\frac{r(1-p)}{p}$$

$$Var(X)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}$$

$$M(t)=\left[ \frac{p}{1-(1-p)e^{t}} \right]^{r}$$

• 재생성을 가진다.
  • $X_{i} \sim NB(r_{i},p)$이면 $\sum X_{i} \sim NB(\sum r_{i} , p)$이 성립한다.
• 이항분포는 $n$이 고정된 상태에서 $x$가 변하는 분포 이지만 음이항분포는 $r-1$이 고정된다. 그래서 이항분포와 반대라는 의미로 음이항분포로 불린다.
• 기하분포가 $r$번 반복 되는 경우 음이항분포를 따른다.

• 분포