$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij} $$
또한, 모수모형은 $\sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = \sum_{i=1}^{l} \frac{a_{i}^{ \ \ 2}}{l-1}$이므로
로 표현 가능하다.
| 인자의 수준 | 합계 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$A_{1}$$ | $$A_{2}$$ | $$A_{3}$$ | $$\cdots$$ | $$A_{l}$$ | ||
| 실험의 반복 | $$y_{11}$$ | $$y_{21}$$ | $$y_{31}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{l1}$$ | |
| $$y_{12}$$ | $$y_{22}$$ | $$y_{32}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{l2}$$ | ||
| $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | |||
| $$y_{1r_{1}}$$ | $$y_{2r_{2}}$$ | $$y_{3r_{3}}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{lr_{l}}$$ | ||
| 합계 | $$T_{1.}$$ | $$T_{2.}$$ | $$T_{3.}$$ | $$\cdots$$ | $$T_{l.}$$ | $$T$$ |
| 평균 | $$\overline{y}_{1.}$$ | $$\overline{y}_{2.}$$ | $$\overline{y}_{3.}$$ | $$\cdots$$ | $$\overline{y}_{l.}$$ | $$\overline{\overline{y}}$$ |
| $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ | $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{N}$$ |
| $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r_{i}}$$ |
| $$N = \sum_{i=1}^{l} r_{i}$$ | $$CT = \frac{T^{2}}{N}$$ |
개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 평균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다.
$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$
양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$
위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 변동, 오차변동인 $S_{A}$, $S_{E}$가 된다.
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} r_{i} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r_{i}} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ 단, $CT$는 $CT =\frac{T^{2}}{N}$으로 수정항이라 부른다.
$$\nu_{_{A}} = l - 1$$
$$\nu_{_{E}} = N - l$$
$$\nu_{_{T}} = N-1$$
$$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$
$$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$
$$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$
$$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ 2}$$
| 요인 | 제곱합 $SS$ | 자유도 $DF$ | 평균제곱 $MS$ | $E(MS)$ | $F_{0}$ | 기각치 | 순변동 $S\acute{}$ | 기여율 $\rho$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}^{ \ 2} a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |
| $$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | ||
| $$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ |
$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$
기각역 : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$
$\mu_{i}$의 $100(1-\alpha) \% $ 신뢰구간은 아래와 같다.
$$\mu_{i} = \left( \ \overline{y}_{i.} - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ \right)$$
$\mu_{i} - \mu_{j}$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.
$$\mu_{i} - \mu_{j} = \left( \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ \right) $$
두 수준 $i$, $j$간의 표본평균의 차 $| \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.} |$를 구하여 이 값이 최소유의차(LSD)보다 크면 두 수준간에 차이가 유의하고 반대로 작으면 두 수준간의 차이는 유의하지 않다고 결론내릴 수 있다.
$$\mathrm{LSD} = t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) }$$