부분집합 (Sub Set)

부분집합은 어떤 집합의 일부분이 되는 집합을 말한다.

집합 A, B가 있을 때

• $$x \in A \ \Rightarrow \ x \in B$$

의 관계가 항상 성립하는 경우 집합 A는 B의 부분집합이라고 한다. 기호로는

• $$A \subset B$$

로 표기한다.

$A = B$ 인 경우에도 A가 B의 부분집합이 성립한다. A와 B가 같지 않은 경우, 즉 $A \subset B$이고 $A \neq B$인 경우에 A는 B의 진부분집합이라고 한다.

다음에서 A,B,C를 집합, U를 전체집합이라 하자.

• 공집합 $\phi$은 모든 집합의 부분집합이다.
• $A \subset A$
• $A \subset B$이고, $B \subset A$이면, $A = B$이며, 또한 역도 참이다.
• $A \subset B$이고, $B \subset C$이면, $A \subset C$이다.
• $A \subset U$
• $A \subset (A \cup B)$
• $A \subset C$이고, $B \subset C$이면, $(A \cup B ) \subset C$
• $( A \cap B ) \subset A$
• $C \subset A$이고, $C \subset B$이면, $C \subset ( A \cap B )$

• 다음은 동치이다.
  • $A \subset B$
  • $A \cap B = A$
  • $A \cup B = B$
  • $A - B = \phi$
  • $B^{c} \subset A^{c}$

A = {4,10} B = {1,4,7,10,13}

이 경우 $A \subset B$라고 할 수 있다.

• 집합