삼원배치법 (모수모형) (반복있음)

요인 $A$는 모수인자

요인 $B$는 모수인자

요인 $C$는 모수인자

$$y_{ijkp} = \mu + a_{i} + b_{j} + c_{k} + (ab)_{ij} + (ac)_{ik} + (bc)_{jk} + (abc)_{ijk} + e_{ijkp}$$

• $y_{ijkp}$ : $A_{i}$ 와 $B_{j}$ 그리고 $C_{k}$ 에서 얻은 $p$ 번째 측정값

• $\mu$ : 실험전체의 모평균
• $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
• $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과
• $c_{k}$ : $C_{k}$가 주는 효과
• $(ab)_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$의 교호작용 효과
• $(ac)_{ik}$ : $A_{i}$와 $C_{k}$의 교호작용 효과
• $(bc)_{jk}$ : $B_{j}$와 $C_{k}$의 교호작용 효과
• $(abc)_{ijk}$ : $A_{i}$와 $B_{J}$ 그리고 $C_{k}$의 교호작용 효과
• $e_{ijkp}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$ 그리고 $C_{k}$에서 얻은 $p$번째 측정값의 오차 ($e_{ijkp} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 독립)

• $i$ : 인자 $A$의 수준 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
• $j$ : 인자 $B$의 수준 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$
• $k$ : 인자 $C$의 수준 수 $( k = 1,2, \cdots ,n )$
• $p$ : 실험의 반복 수 $( p = 1,2, \cdots ,r )$

||<|2> [인자] $$B$$ ||<|2> [인자] $$C$$ |||||||| [인자] $$A$$ || || $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ || |||||||||||| || ||<|10> $$B_{1}$$ ||<|3> $$C_{1}$$ || $$y_{1111}$$ || $$y_{2111}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l111}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{111r}$$ || $$y_{211r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l11r}$$ || ||<|3> $$C_{2}$$ || $$y_{1121}$$ || $$y_{2121}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l121}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{112r}$$ || $$y_{212r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l12r}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || ||<|3> $$C_{n}$$ || $$y_{11n1}$$ || $$y_{21n1}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1n1}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{11nr}$$ || $$y_{21nr}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1nr}$$ || ||<|10> $$B_{2}$$ ||<|3> $$C_{1}$$ || $$y_{1211}$$ || $$y_{2211}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l211}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{121r}$$ || $$y_{221r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l21r}$$ || ||<|3> $$C_{2}$$ || $$y_{1221}$$ || $$y_{2221}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l221}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{122r}$$ || $$y_{222r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l22r}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || ||<|3> $$C_{n}$$ || $$y_{12n1}$$ || $$y_{22n1}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2n1}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{12nr}$$ || $$y_{22nr}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2nr}$$ || |||| $$\vdots$$ |||||||| $$\vdots$$ || ||<|10> $$B_{m}$$ ||<|3> $$C_{1}$$ || $$y_{1m11}$$ || $$y_{2m11}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lm11}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{1m1r}$$ || $$y_{2m1r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lm1r}$$ || ||<|3> $$C_{2}$$ || $$y_{1m21}$$ || $$y_{2m21}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lm21}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{1m2r}$$ || $$y_{2m2r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lm2r}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || ||<|3> $$C_{n}$$ || $$y_{1mn1}$$ || $$y_{2mn1}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lmn1}$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$y_{1mnr}$$ || $$y_{2mnr}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lmnr}$$ ||

$$AB$$ 2원표
||<|2> [인자] $$B$$ |||||||| [인자] $$A$$ ||<|2> 합계 ||
|| $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ ||
|||||||||||| ||
|| $$B_{1}$$ || $$T_{11..}$$ || $$T_{21..}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l1..}$$ || $$T_{.1..}$$ ||
|| $$B_{2}$$ || $$T_{12..}$$ || $$T_{22..}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l2..}$$ || $$T_{.2..}$$ ||
|| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ ||
|| $$B_{m}$$ || $$T_{1m..}$$ || $$T_{2m..}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{lm..}$$ || $$T_{.m..}$$ ||
|||||||||||| ||
|| 합계 || $$T_{1...}$$ || $$T_{2...}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l...}$$ || $$T$$ ||

$$AC$$ 2원표
||<|2> [인자] $$C$$ |||||||| [인자] $$A$$ ||<|2> 합계 ||
|| $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ ||
|||||||||||| ||
|| $$C_{1}$$ || $$T_{1.1.}$$ || $$T_{2.1.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.1.}$$ || $$T_{..1.}$$ ||
|| $$C_{2}$$ || $$T_{1.2.}$$ || $$T_{2.2.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.2.}$$ || $$T_{..2.}$$ ||
|| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ ||
|| $$C_{n}$$ || $$T_{1.n.}$$ || $$T_{2.n.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.n.}$$ || $$T_{..n.}$$ ||
|||||||||||| ||
|| 합계 || $$T_{1...}$$ || $$T_{2...}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l...}$$ || $$T$$ ||

$$BC$$ 2원표
||<|2> [인자] $$C$$ |||||||| [인자] $$B$$ ||<|2> 합계 ||
|| $$B_{1}$$ || $$B_{2}$$ || $$\cdots$$ || $$B_{m}$$ ||
|||||||||||| ||
|| $$C_{1}$$ || $$T_{.11.}$$ || $$T_{.21.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{.m1.}$$ || $$T_{..1.}$$ ||
|| $$C_{2}$$ || $$T_{.12.}$$ || $$T_{.22.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{.m2.}$$ || $$T_{..2.}$$ ||
|| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ ||
|| $$C_{n}$$ || $$T_{.1n.}$$ || $$T_{.2n.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{.mn.}$$ || $$T_{..n.}$$ ||
|||||||||||| ||
|| 합계 || $$T_{.1..}$$ || $$T_{.2..}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{.m..}$$ || $$T$$ ||

 || $$T_{i...} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{i...} = \frac{T_{i...}}{mnr}$$ ||
 || $$T_{.j..} = \sum_{i=1}^{l} \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{.j..} = \frac{T_{.j..}}{lnr}$$ ||
 || $$T_{..k.} = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{..k.} = \frac{T_{..k.}}{lmr}$$ ||
 || $$T_{ij..} = \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{ij..} = \frac{T_{ij..}}{nr}$$ ||
 || $$T_{i.k.} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{i.k.} = \frac{T_{i.k.}}{mr}$$ ||
 || $$T_{.jk.} = \sum_{i=1}^{l} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{.jk.} = \frac{T_{.jk.}}{lr}$$ ||
 || $$T_{ijk.} = \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{y}_{ijk.} = \frac{T_{ijk.}}{r}$$ ||
 || $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=1}^{r} y_{ijkp}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lmnr} = \frac{T}{N}$$ ||
 || $$N = lmnr$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{lmnr} = \frac{T^{2}}{N}$$ ||

—-

개개의 데이터 $y_{ijkp}$와 총평균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 8부분으로 나뉘어진다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} (y_{ijkp}-\overline{\overline{y}}) &= (\overline{y}_{i...} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j..} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{..k.} - \overline{\overline{y}}) \\ &+ (\overline{y}_{ij..} - \overline{y}_{i...} - \overline{y}_{.j..} + \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{i.k.} - \overline{y}_{i...} - \overline{y}_{..k.} + \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.jk.} - \overline{y}_{.j..} - \overline{y}_{..k.} + \overline{\overline{y}}) \\ &+ (y_{ijk.} - \overline{y}_{ij..} - \overline{y}_{i.k.} - \overline{y}_{.jk.} + \overline{y}_{i...} + \overline{y}_{.j..} + \overline{y}_{..k.} - \overline{\overline{y}}) \\ &+ (y_{ijkp}-\overline{y}_{ijk.}) \end{split}\end{displaymath}$$ 양변을 제곱한 후에 모든 $i, \ j, \ k, \ p$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijkp}-\overline{\overline{y}})^{2} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{i...} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{.j..} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{..k.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{ij..} - \overline{y}_{i...} - \overline{y}_{.j..} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{i.k.} - \overline{y}_{i...} - \overline{y}_{..k.} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{.jk.} - \overline{y}_{.j..} - \overline{y}_{..k.} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijk.} - \overline{y}_{ij..} - \overline{y}_{i.k.} - \overline{y}_{.jk.} + \overline{y}_{i...} + \overline{y}_{.j..} + \overline{y}_{..k.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijkp}-\overline{y}_{ijk.})^{2} \end{split}\end{displaymath}$$ 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], $B$의 [[변동]], $C$의 [[변동]], $A, \ B$의 [[교호작용]]의 변동, $A, \ C$의 [[교호작용]]의 변동, $B, \ C$의 [[교호작용]]의 [[변동]], $A, \ B, \ C$의 [[교호작용]]의 변동, [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{C}$, $S_{A \times B}$, $S_{A \times C}$, $S_{B \times C}$, $S_{A \times B \times C}$, $S_{E}$가 된다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijkp}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}y_{ijkp}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{i...}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\frac{T_{i...}^{ \ 2}}{mnr}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{.j..}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m}\frac{T_{.j..}^{ \ 2}}{lnr}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{..k.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{k=1}^{n}\frac{T_{..k.}^{ \ 2}}{lmr}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A \times B} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{ij..}-\overline{y}_{i...}-\overline{y}_{.j..}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{AB} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{AB} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{ij..}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m} \frac{T_{ij..}^{ \ 2}}{nr} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A \times C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{i.k.}-\overline{y}_{i...}-\overline{y}_{..k.}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{AC} - S_{A} - S_{C} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{AC} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{i.k.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{k=1}^{n} \frac{T_{i.k.}^{ \ 2}}{mr} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B \times C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{.jk.}-\overline{y}_{.j..}-\overline{y}_{..k.}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{BC} - S_{B} - S_{C} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{BC} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(\overline{y}_{.jk.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n} \frac{T_{.jk.}^{ \ 2}}{lr} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A \times B \times C} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijk.}-\overline{y}_{ij..}-\overline{y}_{i.k.}-\overline{y}_{.jk.}+\overline{y}_{i...}+\overline{y}_{.j..}+\overline{y}_{..k.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{ABC}-(S_{A}+S_{B}+S_{C}+S_{A \times B}+S_{A \times C}+S_{B \times C}) \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{ABC} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijk.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\frac{T_{ijk.}^{ \ 2}}{r} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=1}^{r}(y_{ijkp}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{ABC} \end{split}\end{displaymath}$$ ===== 자유도 ===== $$\nu_{A}=l-1$$ $$\nu_{B}=m-1$$ $$\nu_{C}=n-1$$ $$\nu_{A \times B}=\nu_{A} \times \nu_{B}=(l-1)(m-1)$$ $$\nu_{A \times C}=\nu_{A} \times \nu_{C}=(l-1)(n-1)$$ $$\nu_{B \times C}=\nu_{B} \times \nu_{C}=(m-1)(n-1)$$ $$\nu_{A \times B \times C}=\nu_{A} \times \nu_{B} \times \nu_{C} =(l-1)(m-1)(n-1)$$ $$\nu_{E}=\nu_{T}-(\nu_{A}+\nu_{B}+\nu_{C}+\nu_{A \times B}+\nu_{A \times C}+\nu_{B \times C}+\nu_{A \times B \times C})=lmn(r-1)$$ $$\nu_{T}=lmnr-1=N-1$$ ===== 평균제곱 ===== $$V_{A}=\frac{S_{A}}{\nu_{A}}$$ $$V_{B}=\frac{S_{B}}{\nu_{B}}$$ $$V_{C}=\frac{S_{C}}{\nu_{C}}$$ $$V_{A \times B}=\frac{S_{A \times B}}{\nu_{A \times B}}$$ $$V_{A \times C}=\frac{S_{A \times C}}{\nu_{A \times C}}$$ $$V_{B \times C}=\frac{S_{B \times C}}{\nu_{B \times C}}$$ $$V_{A \times B \times C}=\frac{S_{A \times B \times C}}{\nu_{A \times B \times C}}$$ $$V_{E}=\frac{S_{E}}{\nu_{E}}$$ ===== 평균제곱의 기대값 ===== $$E(V_{A})=\sigma_{E}^{ \ 2} +mnr \sigma_{A}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B})=\sigma_{E}^{ \ 2} +lnr \sigma_{B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +lmr \sigma_{C}^{ \ 2}$$ $$E(V_{A \times B})=\sigma_{E}^{ \ 2} +nr \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{A \times C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +mr \sigma_{A \times C}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B \times C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +lr \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{A \times B \times C})=\sigma_{E}^{ \ 2} +r \sigma_{A \times B \times C}^{ \ 2}$$ $$E(V_{E})=\sigma_{E}^{ \ 2}$$ ===== 분산분석표 ===== ^ [[요인]] ^ [[제곱합]]\\ $SS$ ^ [[자유도]]\\ $DF$ ^ [[평균제곱]]\\ $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]]\\ $S\acute{}$ ^ [[기여율]]\\ $\rho$ |

인자 $A$에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$

인자 $B$에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$

인자 $C$에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{_{C}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{C}},\nu_{_{E}})$

인자 $A , \ B$의 교호작용에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{_{A \times B}}}{V_{E}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A \times B}},\nu_{_{E}})$

인자 $A , \ C$의 교호작용에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{_{A \times C}}}{V_{E}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A \times C}},\nu_{_{E}})$

인자 $B , \ C$의 교호작용에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{B \times C}}{V_{E}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{B \times C}},\nu_{_{E}})$

인자 $A , \ B , \ C$의 교호작용에 대한 분산분석

• $$F_{0}=\frac{V_{A \times B \times C}}{V_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{A \times B \times C},\nu_{_{E}})$

주효과인 인자 $A, B, C$만이 유의한 경우 교호작용들이 모두 오차항에 풀링되어 버린다.

(단, $S_{E}\acute{}=S_{E}+S_{A \times B}+S_{A \times C}+S_{B \times C}+S_{A \times B \times C}, \ \nu_{E}\acute{}=\nu_{E}+\nu_{A \times B}+\nu_{A \times C}+\nu_{B \times C}+\nu_{A \times B \times C}, \ V_{E}\acute{}=S_{E}\acute{}/\nu_{E}\acute{}$이다.)

인자 $A$의 모평균에 관한 추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정값

• $$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i...}$$

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

• $$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i...} - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{mnr}} \ , \ \overline{y}_{i...} + t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{mnr}} \right)$$

인자 $B$의 모평균에 관한 추정

$j$ 수준에서의 모평균 $\mu(B_{j})$의 점추정값

• $$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j..}$$

$j$ 수준에서의 모평균 $\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

• $$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j..} - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{lnr}} \ , \ \overline{y}_{.j..} + t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{lnr}} \right)$$

인자 $C$의 모평균에 관한 추정

$k$ 수준에서의 모평균 $\mu(C_{k})$의 점추정값

• $$\hat{\mu}(C_{k})=\widehat{\mu + c_{k}} = \overline{y}_{..k.}$$

$k$ 수준에서의 모평균 $\mu(C_{k})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

• $$\hat{\mu}(C_{k})= \left( \overline{y}_{..k.} - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{lmr}} \ , \ \overline{y}_{..k.} + t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ ) \sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{lmr}} \right)$$

인자 $A$와 $B$ 그리고 $C$의 모평균에 관한 추정

$A$ 인자의 $i$ 수준과 $B$ 인자의 $j$ 수준, $C$ 인자의 $k$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i}B_{j}C_{k})$의 점추정값

• $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j}C_{k})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}+c_{k}}=\overline{y}_{i...} + \overline{y}_{.j..} + \overline{y}_{..k.} - 2 \overline{\overline{y}}$$

$A$ 인자의 $i$ 수준과 $B$ 인자의 $j$ 수준, $C$ 인자의 $k$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i}B_{j}C_{k})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

• $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j}C_{k})= \left( (\overline{y}_{i...} + \overline{y}_{.j..} + \overline{y}_{..k.} - 2\overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ )\sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i...} + \overline{y}_{.j..} + \overline{y}_{..k.} - 2\overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E}\acute{} \ )\sqrt{\frac{V_{E}\acute{}}{n_{e}}} \right)$$

단, $n_{e}$는 유효반복수이고 $n_{e} = \frac{lmnr}{l+m+n-2}$이다.

• 실험계획법
• 삼원배치법