오차함수 (Error Function : Erf)

오차함수는 확률론, 통계학, 편미분 방정식등에서 사용하는 비초등 함수이다. 가우스 오차 함수 라고도 하며 다음과 같이 정의된다.

• $$ \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt $$

오른쪽 항을 테일러 급수로 전개하여 적분하면 모든 실수 $x$에 대해 다음과 같은 식을 얻는다.

$$\mathrm{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right) $$

여오차함수는 $\mathrm{erfc}$라고 쓰며 오차함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

• $$ \mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt $$

복소오차함수는 $w(x)$라고 쓰며 오차함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

• $$ w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix) $$

오차함수는 정규분포의 누적분포함수와 본질적으로 동일하다. $\Phi$라고 쓰며 상수배하거나 평행이동하는 차이 밖에 없다.

• $$ \Phi(x) = \frac{1}{2}\Big[1+\mbox{erf}\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)\Big] $$

$$ \mathrm{erfi} (z) = -i \mathrm{erf} (iz) $$