지수분포, 정규분포, 균일분포, 와이블분포 등과 비슷한 분포인 어랑분포는 연속 확률 변수에서 파생된 분포이다. 이 분포는 덴마크의 수학자인 Agner Krarup Erlang 에서 이름을 따왔다. 이 덴마크의 수학자는 코펜하겐 전화국에서 전화의 지연과 손실에 대한 문제에 대해서 일하고 있었다. A.K. Erlang 은 1909 년에 자신의 첫번째 논문인 The theory of probability and telelphone conversations 에서 이 문제에 대해 자세히 설명했다.
$$ X \sim Erlang( \ n \ , \ \lambda \ ) $$
$$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$
$$ \begin{displaymath}\begin{split} F(x) &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} e^{-\lambda \cdot x} \frac{(\lambda \cdot x)^{k}}{k!} \\ &= 1 - \frac{\Gamma(n,x \cdot \lambda)}{\Gamma(n)} \end{split}\end{displaymath} $$ <plot> set title "Erlang Distribution CDF" set size 1.0 set xrange [0:10] set yrange [0:1.1] set format x "%.1f" set format y "%.2f" set xlabel "x" set ylabel "f(x)" cerlang(x,n,lambda)=(igamma(n,x*lambda))/(gamma(n)) plot cerlang(x,1,1.0) title "Erlang(1,1)", \ cerlang(x,2,1.0) title "Erlang(2,1)", \ cerlang(x,2,2.0) title "Erlang(2,2)" </plot> ===== 기대값 ===== $$ E(X) = \frac{n}{\lambda} $$ ===== 최빈값 ===== $$ Mo = \frac{n-1}{\lambda} $$ ===== 분산 ===== $$ Var(X) = \frac{n}{\lambda^{2}} $$ ===== 왜도 ===== $$ \gamma_{1} = \frac{2}{\sqrt{k}} $$ ===== 첨도 ===== $$ \gamma_{2} = \frac{6}{n} $$ ===== 특성함수 ===== $$ \phi (t) = \left( 1-\frac{i \cdot t}{\lambda} \right)^{-n} $$ ===== 적률생성함수 ===== $$ M(t) = \left( 1-\frac{t}{\lambda} \right)^{-n} $$
단, $n< \lambda$인 경우에만 성립