표준정규분포 (Standard Normal Distribution)

표준정규분포는 정규분포에서 평균 $\mu = 0$이고, 분산 $\sigma^2 = 1$인 분포를 말한다.

확률변수 $X$가 평균 $\mu = 0$, 분산 $\sigma^{2} = 1$을 갖는 표준정규분포라 한다면 아래와 같이 표기 한다.

$$ X \sim N(0 , 1)$$

$$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}} $$

$$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \mathrm{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right] $$

단, $\mathrm{erf}(x)$는 오차함수)

$$E(X) = 0$$

$$ Mdn = 0 $$

$$ Mo = 0 $$

$$Var(X) = 1$$

$$ \gamma_{1} = 0 $$

$$ \gamma_{2} = 0 $$

• 정규분포와 카이스퀘어분포 관계
• 정규분포와 t분포 관계

표준정규분포에서 $Z_{\alpha}$는 아래와 같이 정의 된다.

• $$ \alpha = 1 - F(Z_{\alpha}) $$
• $$ \alpha = \int^{\infty}_{Z_{\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ dx $$

표준정규분포에서 $\Phi (a)$는 아래와 같이 정의 된다.

• $$ \Phi (z) = F(z) $$
• $$ \Phi (z) = \int^{z}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ dx $$

단, $F(x)$는 표준정규분포의 누적분포함수이다.

• 정규분포
• 표준정규분포표