t분포 (t Distribution)

두 확률변수 $Z$와 $W$가 서로 독립이고 $Z$는 표준정규분포를 $W$는 자유도가 $\nu$인 카이스퀘어분포를 따를 경우, 확률변수

• $$X = \frac{Z}{\sqrt{W / \nu}}$$

는 자유도가 $\nu$인 t분포를 따른다.

$$X \sim t(\nu)$$

$$x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ )$$

$$f(x) = \frac{\left( \frac{\nu}{\nu + x^{2}} \right)^{(1 + \nu)/2}}{\sqrt{\nu} \cdot B \left( \frac{1}{2} \nu , \frac{1}{2} \right) }$$

• 단, $B(\alpha,\beta)$는 베타함수이다.

$$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) \ _{2}F_{1} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} (\nu + 1) ; \frac{3}{2} ; -\frac{x^{2}}{\nu} \right)}{\sqrt{\pi \nu} \cdot \Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) }$$

$$E(X) = 0$$

$$Var(X) = \frac{\nu}{\nu - 2}$$

$$\gamma_{1} = 0$$

$$\gamma_{2} = \frac{6}{\nu - 4}$$

• 정규분포와 t분포 관계
• t분포와 F분포 관계

• 분포
• t분포표