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난괴법 (Randomized Block Design)

데이터 구조

인자 $A$는 모수인자

인자 $B$는 변량인자

$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$

  • $y_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 측정값
  • $\mu$ : 실험전체의 모평균
  • $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
  • $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과 ($b_{j} \sim N(0, \sigma_{B}^{ \ 2})$이고 서로 독립)
  • $e_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 측정값의 오차 ($e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 독립)
  • $i$ : 인자 $A$의 수준 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
  • $j$ : 인자 $B$의 수준 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$

자료의 구조

인자 $B$ 인자 $A$ 합계 평균
$A_{1}$ $A_{2}$ $\cdots$ $A_{l}$
$B_{1}$ $y_{11}$ $y_{21}$ $\cdots$ $y_{l1}$ $T_{.1}$ $\overline{y}_{.1}$
$B_{2}$ $y_{12}$ $y_{22}$ $\cdots$ $y_{l2}$ $T_{.2}$ $\overline{y}_{.2}$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
$B_{m}$ $y_{1m}$ $y_{2m}$ $\cdots$ $y_{lm}$ $T_{.m}$ $\overline{y}_{.m}$
합계 $T_{1.}$ $T_{2.}$ $\cdots$ $T_{l.}$ $T$
평균 $\overline{y}_{1.}$ $\overline{y}_{2.}$ $\cdots$ $\overline{y}_{l.}$ $\overline{\overline{y}}$
$$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$
$$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$
$$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$
$$N = lm$$ $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$

제곱합

개개의 데이터 $$y_{ij}$$ 와 총편균 $$\overline{\overline{y}}$$ 의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다. 

$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} +  \overline{\overline{y}})$$

양변을 제곱한 후에 모든 $$i$$ 와 $$j$$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다. 

$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} +  \overline{\overline{y}})^{2}$$

위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $$S_{T}$$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로 $$A$$ 의 변동, $$B$$ 의 변동, 오차변동인 $$S_{A}$$ , $$S_{B}$$ , $$S_{E}$$ 가 된다. 

$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{i.}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{ \ 2}}{m} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{.j}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m} \frac{T_{.j}^{ \ 2}}{l} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$

자유도

$$\nu_{_{A}} = l-1$$

$$\nu_{_{B}} = m-1$$

$$\nu_{_{E}} = (l-1)(m-1)$$

$$\nu_{_{T}} = lm-1=N-1$$

평균제곱

$$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$

$$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$

$$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$

평균제곱의 기대값

$$E(V_{A}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$

$$E(V_{B}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$

$$E(V_{E}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$

분산분석표

| '요인' | '제곱합' $$SS$$ | '자유도' $$DF$$ | '평균제곱' $$MS$$ | $$E(MS)$$ | $$F_{0}$$ | '기각치' | '순변동' $$ S\acute{} $$ | '기여율' $$\rho$$ | 

||||||||||||||||   |

| $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | $$B$$ | $$S_{_{B}}$$ | $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ | $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | $$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | | | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | 

||||||||||||||||   |

| $$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$ | | | | | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ |

분산분석

인자 $A$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$

각 수준의 모평균의 추정

인자 $A$의 모평균에 관한 추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정값

  • $$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i.}$$

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

  • $$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i.} - t_{\alpha/2}(\nu^{*}) \sqrt{\frac{V_{B}+(l-1)V_{E}}{lm}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\alpha/2}(\nu^{*}) \sqrt{\frac{V_{B}+(l-1)V_{E}}{lm}} \right)$$
    • 단, $\nu^{*}$는 등가자유도로 $\nu_{*} = \frac{ [[ V_{B}+(l-1)V_{E} ]] ^{2} }{V_{B}^{ \ 2} / \nu_{B} + [[ (l-1)V_{E} ]] ^{2} / \nu_{E}}$ 이다.

각 수준의 모평균차의 추정

인자 $A$의 모평균차에 관한 추정

$i$ 수준과 $j$ 수준의 모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 점추정값

  • $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}$$

$i$ 수준과 $j$ 수준의 모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

  • $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \right)$$

분산의 추정

$$\hat{\sigma}_{B}^{ \ 2} = \frac{V_{B}-V_{E}}{l}$$