단일 표본 모비율 구간추정

성공확률이 $p$인 베르누이 시행을 독립적으로 $n$번 반복해 얻은 성공횟수를 $x$라 하고 $\hat{p} = x/n$를 표본비율의 값이라 하자. $n$이 충분히 크면 근사적으로 $p$에 대한 $100(1 - \alpha) \%$ 양측 신뢰구간은 아래와 같다.

• $$ \left( \ \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ , \ \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ \right) $$

표본의 크기가 큰 경우에 성공확률 $p$에 대한 $100(1 - \alpha) \%$ 신뢰구간의 길이가 $2d$이하(또는 추정오차가 $d$ 이하일 확률이 $1 - \alpha$)가 되도록 하는 데 필요한 표본크기 $n$은

1. $p$의 추정값 $\hat{p}$가 있는 경우
   • $$ n \geq \hat{p} (1- \hat{p})(z_{\alpha/2}/d)^{2} $$
2. $p$에 대한 정보가 없는 경우
   • $$ n \geq\frac{1}{4} (z_{\alpha/2}/d)^{2} $$

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