두 표본 t검정 (Two Sample t Test)

두개의 모집단에거 평균에 대한 비교 검정을 할 경우(두 모집단의 모분산 $\sigma_{1}^{2}$과 $\sigma_{2}^{2}$을 모를 경우)

$\sigma_{1}^{2}$과 $\sigma_{2}^{2}$을 모르나, $\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$일 때

• 귀무가설
  • $$H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$$

• 검정통계량
  • $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{S_{p}\sqrt{1/n_{1} + 1/n_{2}}}$$

• 대립가설과 기각역
  • $$ H_{1} : \mu_{1} > \mu_{2} \ \rightarrow \ t_{0} > t_{\alpha} (n_{1} + n_{2} - 2) $$
  • $$ H_{1} : \mu_{1} < \mu_{2} \ \rightarrow \ t_{0} < - t_{\alpha} (n_{1} + n_{2} - 2) $$
  • $$ H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{\alpha/2} (n_{1} + n_{2} - 2) $$

단 $S_{p}^{2}$은 아래와 같다.

• $$ S_{p}^{2} = \frac{(n_{1} - 1)S_{1}^{2} + (n_{2} - 1)S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2} $$

$\sigma_{1}^{2}$과 $\sigma_{2}^{2}$을 모르고, $\sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}$일 때

• 귀무가설
  • $$H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$$

• 검정통계량
  • $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{S_{1}^{2}/n_{1} + S_{2}^{2}/n_{2}}}$$

• 대립가설과 기각역
  • $$ H_{1} : \mu_{1} > \mu_{2} \ \rightarrow \ t_{0} > t_{\alpha} (\nu^{*}) $$
  • $$ H_{1} : \mu_{1} < \mu_{2} \ \rightarrow \ t_{0} < - t_{\alpha} (\nu^{*}) $$
  • $$ H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_({\nu^{*}) $$

단, $\nu^{*}$은 아래와 같다.

• $$ \nu^{*} = \frac{\left[ s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2} \right]^{2}}{\frac{(s_{1}^{2} / n_{1})^{2}}{n_{1} - 1} + \frac{(s_{2}^{2} / n_{2})^{2}}{n_{2} - 1}} $$

• 검정