베이즈 정리 (Bayes Theorem)

$E_{1}, \ E_{2}, \ \cdots \ , \ E_{k}$가 표본공간 $S$의 분할일 때, 아래의 같은 식을 만족한다. (단, $A \subset S$)

• $$ \begin{displaymath}\begin{split} P(E_{j} \ | \ A) &= \frac{P(E_{j}) \cdot P(A \ | \ E_{j})}{P(A)} \\ &= \frac{P(E_{j}) \cdot P(A \ | \ E_{j})}{ \sum_{j=1}^{k} P(E_{j}) \cdot P(A \ | \ E_{j})} \end{split}\end{displaymath} $$ 단, $P(A \ | \ B)$는 조건부 확률이다.

한 공장에서 A,B,C 셰계의 회사로 부터 부품을 구입하는데, 그 비중이 각각 20%, 30%, 50% 이다. 과거 경험에 의하면 이 부품의 불량률은 A, B, C 쇠사별로 각각 4%, 1%, 3% 였다. 현재 하개의 불량품을 발견했는데 이 부품은 어느 회사의 것인가?

A, B, C 회사로 부터 부품을 공급받는 [사상]을 각각 $E_{1}, \ E_{2}, \ E_{3}$라 하고, 부품이 불량인 사상을 $F$라 할 때, $E_{1}, \ E_{2}, \ E_{3}$ 사상은 각각이 상호배반사상이고 표본공간 부품 $S$의 분할이다.

$$ P(E_{1}) = 0.2 \ \ P(E_{2}) = 0.3 \ \ P(E_{3}) = 0.5 $$

$$ P(F \ | \ E_{1}) = 0.04 \ \ P(F \ | \ E_{2}) = 0.01 \ \ P(F \ | \ E_{3}) = 0.03 $$

$$ P(E_{1}) \cdot P(F \ | \ E_{1}) = 0.008 $$

$$ P(E_{2}) \cdot P(F \ | \ E_{2}) = 0.003 $$

$$ P(E_{3}) \cdot P(F \ | \ E_{3}) = 0.015 $$

전확률 법칙에 의해

$$ \begin{displaymath}\begin{split} P(F) &= \sum_{i=1}^{3} P(E_{i}) \cdot P(F \ | \ E_{i}) \\ &= P(E_{1}) \cdot P(F \ | \ E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(F \ | \ E_{2}) + P(E_{3}) \cdot P(F \ | \ E_{3}) \\ &= 0.2 \times 0.04 + 0.3 \times 0.01 + 0.5 \times 0.03 \\ &= 0.026 \end{split}\end{displaymath} $$ [[베이즈 정리]]에 의해 $$ P(E_{1} \ | \ F) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(F \ | \ E_{1})}{P(F)} = \frac{0.008}{0.026} = \frac{8}{26} $$ $$ P(E_{2} \ | \ F) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(F \ | \ E_{2})}{P(F)} = \frac{0.003}{0.026} = \frac{3}{26} $$ $$ P(E_{3} \ | \ F) = \frac{P(E_{3}) \cdot P(F \ | \ E_{3})}{P(F)} = \frac{0.015}{0.026} = \frac{15}{26} $$

즉, 불량품이 A회사 제품일 확률이 8/26, B회사 제품일 확률이 3/26, C회사 제품일 확률이 15/26 이다.

• 조건부 확률
• 전확률 법칙