정규분포와 카이스퀘어 분포 관계

$X_{1}, \ ... \ ,X_{n}$이 $N(\mu, \sigma^{2})$으로 부터의 확률표본이라면 아래의 관계가 성립한다.

• $$ \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \mu)^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2} (n) $$

• $$ \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2} (n-1)$$

$Z_{1}, \ ... \ ,Z_{n}$이 $n$개의 서로 독립인 표준정규분포를 모집단으로 하는 확률변수라 하자. 이 때 $Z_{1}^{\ 2} + \ ... \ + Z_{n}^{\ 2}$은 자유도가 $\phi = n$인 $\chi^{2} (n)$의 분포를 따른다.

• $$ \chi^{2} (n) = Z_{1}^{\ 2} + \ ... \ + Z_{n}^{\ 2} $$

• $$ \chi_{1-\alpha}^{2} (1) = (z_{\alpha})^{2} $$

• 정규분포
• 카이스퀘어분포