F분포 (F Distribution)

$U \sim \chi^{2}(\nu_{1})$, $V \sim \chi^{2}(\nu_{2})$이고 $U$와 $V$가 서로 독립이면 $F=\frac{(U/\nu_{1})}{(V/\nu_{2})}$는 자유도가 $(\nu_{1}, \ \nu_{2})$인 F분포를 따른다.

$$ X \sim F(\nu_{1}, \ \nu_{2}) $$

• $\nu_{1}$은 분자의 자유도
• $\nu_{2}$은 분모의 자유도

$$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$

$$ \begin{displaymath}\begin{split} f_{\nu_{1},\nu_{2}}(x) &= \frac{\Gamma \left[[ (\nu_{1} + \nu_{2})/2 \right]] \cdot \nu_{1}^{\nu_{1}/2} \cdot \nu_{2}^{\nu_{2}/2}}{\Gamma(\nu_{1}/2) \cdot \Gamma(\nu_{2}/2)} \frac{x^{n/2 - 1}}{(\nu_{2} + \nu_{1} x)^{(\nu_{1} + \nu_{2})/2}} \\ &= \frac{\nu_{1}^{\nu_{1} / 2} \cdot \nu_{2}^{\nu_{2} / 2} \cdot x^{n/2 - 1}}{(\nu_{2} + \nu_{1} x)^{(\nu_{1} + \nu_{2})/2} \cdot B(\frac{1}{2} \nu_{1},\frac{1}{2} \nu_{2})} \end{split}\end{displaymath} $$ 단, $\Gamma(x)$는 [[감마함수]], $B(x,y)$는 베타함수

$$ \begin{displaymath}\begin{split} F_{\nu_{1},\nu_{2}} (x) &= I \left( \frac{\nu_{1} x}{\nu_{2} + \nu_{1} x} \ ; \ \frac{1}{2} \nu_{1} \ , \ \frac{1}{2} \nu_{2} \right) \\ &= 2 \nu_{1}^{(\nu_{1} - 2)/2} \cdot \left( \frac{x}{\nu_{2}} \right)^{\nu_{1} / 2} \cdot \frac{_{2}F_{1} \left( \frac{1}{2} (\nu_{1} + \nu_{2}) \ , \ \frac{1}{2} \nu_{1} \ ; \ 1 + \frac{1}{2} \nu_{1} \ ; \ - \nu_{1} x / \nu_{2}) \right) }{B(\frac{1}{2} \nu_{1},\frac{1}{2} \nu_{2})} \end{split}\end{displaymath} $$ 단, $I(x;a,b)$는 ??(FIXME)함수, $_{2}F_{1} (a,b;c;z)$는 초기하함수

$$ E(X) = \frac{\nu_{2}}{\nu_{2} - 2} $$

$$ Var(X) = \frac{2 \nu_{2}^{ \ 2} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{1} (\nu_{2} - 2)^{2} (\nu_{2} - 4)} $$

$$ \gamma_{1} = \frac{2(2 \nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{2} - 6} \sqrt{\frac{2(\nu_{2} - 4)}{\nu_{1} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}} $$

$$ \gamma_{2} = \frac{12(-16 + 20 \nu_{2} - 8 \nu_{2}^{ \ 2} + \nu_{2}^{ \ 3} + 44 \nu_{1} - 32 \nu_{1} \nu_{2} + 5 \nu_{1} \nu_{2}^{ \ 2} - 22 \nu_{1}^{ \ 2} + 5 \nu_{1}^{ \ 2} \nu_{2})}{\nu_{1} (\nu_{2} - 6)(\nu_{2} - 8)(\nu_{1} + \nu_{2} - 2)} $$

1. $F_{\alpha} (\nu_{1}, \ \nu_{2}) = \frac{1}{F_{1-\alpha} (\nu_{2}, \ \nu_{1})} $인 관계가 성립한다.
2. $F = \frac{(S_{1}^{ \ 2} / \sigma_{1}^{ \ 2})}{(S_{2}^{ \ 2} / \sigma_{2}^{ \ 2})} \sim F(n_{1} - 1, \ n_{2} - 1) $인 관계가 성립한다.

• t분포와 F분포 관계