목차

난괴법 (Randomized Block Design)

데이터 구조

인자 $A$는 모수인자

인자 $B$는 변량인자

$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$

자료의 구조

인자 $B$ 인자 $A$ 합계 평균
$A_{1}$ $A_{2}$ $\cdots$ $A_{l}$
$B_{1}$ $y_{11}$ $y_{21}$ $\cdots$ $y_{l1}$ $T_{.1}$ $\overline{y}_{.1}$
$B_{2}$ $y_{12}$ $y_{22}$ $\cdots$ $y_{l2}$ $T_{.2}$ $\overline{y}_{.2}$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
$B_{m}$ $y_{1m}$ $y_{2m}$ $\cdots$ $y_{lm}$ $T_{.m}$ $\overline{y}_{.m}$
합계 $T_{1.}$ $T_{2.}$ $\cdots$ $T_{l.}$ $T$
평균 $\overline{y}_{1.}$ $\overline{y}_{2.}$ $\cdots$ $\overline{y}_{l.}$ $\overline{\overline{y}}$
$$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$
$$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$
$$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$
$$N = lm$$ $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$

제곱합

개개의 데이터 $y_{ij}$와 총편균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다.

$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})$$

양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2}$$

위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 변동, $B$의 변동, 오차변동인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{E}$가 된다.

^ $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |

$$B$$ $$S_{_{B}}$$ $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$ $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$E$$ $$S_{_{E}}$$ $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$ $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$ $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$T$$ $$S_{_{T}}$$ $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$ $$S_{_{T}}$$ $$1$$

분산분석

인자 $A$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$

각 수준의 모평균의 추정

인자 $A$의 모평균에 관한 추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

각 수준의 모평균차의 추정

인자 $A$의 모평균차에 관한 추정

$i$ 수준과 $j$ 수준모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 점추정

$i$ 수준과 $j$ 수준모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

분산의 추정

$$\hat{\sigma}_{B}^{ \ 2} = \frac{V_{B}-V_{E}}{l}$$