$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$
인자 $B$ | 인자 $A$ | 합계 | 평균 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
$A_{1}$ | $A_{2}$ | $\cdots$ | $A_{l}$ | |||
$B_{1}$ | $y_{11}$ | $y_{21}$ | $\cdots$ | $y_{l1}$ | $T_{.1}$ | $\overline{y}_{.1}$ |
$B_{2}$ | $y_{12}$ | $y_{22}$ | $\cdots$ | $y_{l2}$ | $T_{.2}$ | $\overline{y}_{.2}$ |
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
$B_{m}$ | $y_{1m}$ | $y_{2m}$ | $\cdots$ | $y_{lm}$ | $T_{.m}$ | $\overline{y}_{.m}$ |
합계 | $T_{1.}$ | $T_{2.}$ | $\cdots$ | $T_{l.}$ | $T$ | |
평균 | $\overline{y}_{1.}$ | $\overline{y}_{2.}$ | $\cdots$ | $\overline{y}_{l.}$ | $\overline{\overline{y}}$ |
$$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$ |
$$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$ |
$$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ | $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$ |
$$N = lm$$ | $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$ |
개개의 데이터 $y_{ij}$와 총편균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다.
$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})$$
양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2}$$
위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 변동, $B$의 변동, 오차변동인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{E}$가 된다.
^ $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |
$$B$$ | $$S_{_{B}}$$ | $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ | $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | ||
$$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ |
인자 $A$에 대한 분산분석
$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$
기각역 : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$
$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정값
$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.
$i$ 수준과 $j$ 수준의 모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 점추정값
$i$ 수준과 $j$ 수준의 모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.