이항분포 (Binomial Distribution)

성공률이 $p$인 베르누이 시행을 독립적으로 $n$번 반복할 때 성공횟수를 $X$라 하면. $X$는 모수가 $n$과 $p$인 이항분포를 따른다.

이항분포는 베르누이 실험의 연속적인 시행횟수 $n$과 그 실험의 성공 확률인 $p$를 이용해 표기 한다.

• $$ X \sim b(n , p)$$
  • $$ n \in \{ \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \} $$
  • $$ p \in [[ \ 0 \ , \ 1 \ ]] $$

$$ x \in \{ \ 0 \ , \ 1 \ , \ ... \ , \ n \} $$

$$ p(x)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x}(1-p)^{n-x} $$

$$ F(x) = \sum_{k=0}^{x} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} (1-p)^{n-k} $$

$$E(X)=np$$

$$Var(X)=np(1-p)$$

$$ \gamma_{ \ 1} = \frac{1 - 2p}{\sqrt{np(1 - p)}} = \frac{q-p}{\sqrt{npq}} $$

$$ \gamma_{ \ 2} = \frac{6p^{2} - 6p + 1}{np(1-p)} = \frac{1 - 6pq}{npq} $$

$$ \phi \ (t) = (q + p e^{it})^{n} $$

• $$ M(t) = [[ \ pe^{t}+(1-p) \ ]]^{n}$$
  • $$ M'(t) = n [[ pe^{t} + (1-p)]]^{n-1} (pe^{t}) $$
  • $$ M''(t) = n (n - 1) [[ pe^{t} + (1 - p) ]]^{n-2} + n [[ pe^{t} + (1-p)]]^{n-1} (pe^{t}) $$

1. $$ \mu'_{1} = np $$
2. $$ \mu'_{2} = np(1 - p + np) $$
3. $$ \mu'_{3} = np(1 - 3p + 3np + 2p^{2} - 3np^{2} + n^{2} p^{2}) $$
4. $$ \mu'_{4} = np(1 - 7p + 7np + 12p^{2} - 18np^{2} + 6n^{2} p^{2} - 6p^{3} + 11np^{3} -6n^{2} p^{3} + n^{3} p^{3}) $$

1. $$ \mu_{2} = np(1 - p) = npq $$
2. $$ \mu_{3} = np(1 - p)(1 - 2p) = npq(q-p) $$
3. $$ \mu_{4} = np(1 - p)[[ 3p^{2} (2-n) + 3p(n-2) + 1 ]] $$

1. 재생성을 가진다.
   • $X_{i} \sim b(n_{i},p)$이면 $\sum X_{i} \sim b(\sum n_{i} , p)$이 성립한다.

1. 초기하분포를 이항분포로 근사
2. 이항분포를 포아송분포로 근사
3. 이항분포를 정규분포로 근사

• 이항분포표