카이스퀘어분포 (Chi-squre Distribution)

카이스퀘어분포는 감마분포의 특별한 경우로 $X \sim G(\nu/2 , 2)$를 따르는 감마분포 이다. 즉 감마분포에서 $\alpha=\nu/2 , \beta=2$인 분포이다.

확률변수 $X$가 자유도 $\nu$인 카이스퀘어분포일 경우 아래와 같이 표기 한다.

• $ X \sim \chi^{2}(\nu)$

$$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$

$$ f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\nu/2) \cdot 2^{\nu/2}} \right] \cdot x^{(\nu/2)-1} \cdot e^{-x/2} $$

$$ F(x) = P \left( \ \frac{1}{2} \nu \ , \ \frac{1}{2} x \ \right) $$

단, $P(\alpha,\beta)$는 정칙 감마함수이다.

$$E(X)=\nu$$

$$Var(X)=2\nu$$

$$ \gamma_{1} = 2 \sqrt{\frac{2}{\nu}} $$

$$ \gamma_{2} = \frac{12}{\nu} $$

$$ \phi \ (t) = (1-2 i t)^{-\nu/2} $$

$$ M(t) = (1-2t)^{-\nu/2} $$

• $ \mu'_{1} = \nu $
• $ \mu'_{2} = \nu ( \nu + 2) $
• $\mu'_{3} = \nu ( \nu + 2)( \nu + 4) $
• $\mu'_{4} = \nu ( \nu + 2)( \nu + 4)( \nu + 6) $

• $\mu'_{k} = \nu ( \nu + 2) \ \cdots \ ( \nu + 2 k - 2) $

• $ \mu_{2} = 2 \nu $
• $ \mu_{3} = 8 \nu $
• $ \mu_{4} = 12 \nu ( \nu + 4) $
• $ \mu_{5} = 32 \nu ( 5 \nu + 12) $

• $ \mu_{k} = 2^{k} \ U( \ -k \ , \ 1 - k - \frac{1}{2} \nu \ , \ - \frac{1}{2} \nu \ ) $

• 단, $U( \ a \ , \ b \ , \ x \ )$ ??함수(confluent hypergeometric function of the second kind)이다. ()

1. 재생성을 가진다.
2. $ X_{i} \sim \chi^{2}(\nu_{i})$이면 $\sum X_{i} \sim \chi^{2}(\sum \nu_{i})$이 성립한다.

• 정규분포와 카이스퀘어분포 관계
• 감마분포와 카이스퀘어분포 관계

• 분포
• 카이스퀘어분포표