적률생성함수 (Moment Generating Function)

적률생성함수는 적률을 생성해주는 함수로서 확률밀도함수(확률함수)가 주어졌을 때 그에 대한 $e^{tx}$의 기대값으로 정의된다.

$$ M(t)=E(e^{tx}) $$

적률생성함수를 이용하여 $X$의 $k$차 원적률을 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \mu_{k}' = \left[ \frac{d^{(k)} M(t)}{dt^{k}} \right]_{t=0} $$

즉, 적률생성함수 $M(t)$를 한번 미분하여 $t$에 $0$을 대입하면 $\mu_{1}' = E(X)$를 구할 수 있고, $M(t)$를 두번 미분하여 $t$에 $0$을 대입하면 $\mu_{2}' = E(X^{2})$를 구할 수 있다.

만약 $M(t)$를 $k$번 미분하여 $t$에 $0$을 대입하면 $\mu_{k}' = E(X^{k})$를 구할 수 있다.

확률변수 $X$의 적률생성함수가 $M(t)$일 때, 확률변수 $aX + b$의 적률생성함수는 아래와 같다. ($a, b$는 상수)

$$ M_{aX+b} (t) = e^{tx} \cdot M(at) $$

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