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기대값 (Expectation, Expected Value)

정의

확률변수가 주어졌을 때 동일한 확률실험을 무한히 수행한 결과들 평균의 기대치를 의미한다.

이산형 확률변수 X의 기대값

확률변수 $X$가 이산형(이산형 확률변수)일 때, $X$의 기대값 $E(X)$는 아래와 같이 정의된다.

  • $$ E(X)= \sum_{x \in R_{x}} x \cdot p(x) $$

이산형 확률변수 g(X)의 기대값

$g(X)$를 이산형 확률변수 $X$의 함수라 하고 그 기대값이 존재할 때, $g(X)$의 기대값은 아래와 같이 구한다.

  • $$ E[ \ g(X) \ ] = \sum_{x \in R_{x}} g(x) \cdot p(x) $$

연속형 확률변수 X의 기대값

확률변수 $X$가 연속형(연속형 확률변수)일 때, $X$의 기대값 $E(X)$는 아래와 같이 정의된다.

  • $$ E(X)= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $$

연속형 확률변수 g(X)의 기대값

$g(X)$를 연속형 확률변수 $X$의 함수라 하고 그 기대값이 존재할 때, $g(X)$의 기대값은 아래와 같이 구한다.

  • $$ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) \ dx $$

유용한 식 1

확률변수 $X$와 임의의 상수 $c$에 대해서 아래와 같은 결과가 성립한다.

  1. $$ E(c) = c $$
  2. $$ E[ \ c \cdot g(X) \ ] = c \cdot E[ \ g(X) \ ] $$
  3. $$ E[ \ h(X) + g(X) \ ] = E[ \ h(X) \ ] + E[ \ g(X) \ ] $$

유용한 식 2

모집단의 분포와 관계없이 성립하는 기대값

  1. $$ E(\overline{x}) = \mu $$
  2. $$ E(S^{2}) = \sigma^{2} $$
  3. $$ E(\overlin{s} / c_{4}) = \sigma $$
  4. $$ E(\overline{R} / d_{2}) = \sigma $$

모집단이 정규분포를 따를 때

  1. $$ E(W) = d_{2} $$

다양한 분포들의 기대값

분포 기대값
베르누이분포 $$p$$
이항분포 $$np$$
음이항분포 $$\frac{r(1-p)}{p}$$
기하분포 $$\frac{1-p}{p}$$
초기하분포 $$\frac{nM}{N}$$
포아송분포 $$\lambda$$
다항분포 $$n_{i} p_{i}$$
균일분포 $$\frac{a+b}{2}$$
삼각형분포 $$\frac{a+m+b}{3}$$
정규분포 $$\mu$$
절반정규분포 $$\frac{1}{\theta}$$
지수분포 $$\lambda^{-1}$$
어랑분포
감마분포 $$\alpha \beta$$
베타분포 $$\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$
와이블분포 $$\alpha \cdot \Gamma \left( a + \frac{1}{\beta} \right)$$
대수정규분포 $$e^{\mu + \sigma^{2}/2}$$
맥스웰분포 $$2 \alpha \sqrt{\frac{2}{\pi}}$$
레일리분포 $$s \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
라플라스분포 $$\mu$$
카이분포 $$\frac{\sqrt{2} \ \Gamma \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) }{\Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) }$$
카이스퀘어분포 $$\nu$$
t분포 $$0$$
F분포 $$\frac{\nu_{2}}{\nu_{2} - 2}$$