지수분포와 감마분포 관계

확률변수 $X$가 감마분포를 따르고 모수 $\alpha = 1 , \ \beta=\theta$일 때 ($X \sim G(1, \theta)$), 확률변수 $X$는 모수가 $\theta$인 지수분포를 따른다. ($X \sim Exp(\theta)$)

$X_{1}, \cdots , X_{r}$가 서로 독립이고 모수가 $\theta$인 지수분포를 따른다면 $Y=X_{1}+X_{2}+ \cdots +X_{r}$은 모수가 $( r, \theta)$인 감마분포를 따른다.

• $$M_{X_{i}}(t) = E [ e^{tX_{i}} ] $$

• $$M_{Y}(t) = E[e^{tY}] = E[e^{tX_{1}} e^{tX_{2}} \dots e^{tX_{r}}] = E[e^{tX_{1}}] \cdots E[e^{tX_{r}}] = (1-\theta t)^{-r}$$

• 지수분포
• 감마분포