품질관리특론-졸업고사

제품의 치수는 정규분포 (공정이 안정상태에서 평균 100, 분산 1)를 따른다고 알려져 있다.

1) 평균을 관리하기위해 표본을 9개 추출하여 X-bar 관리도를 사용하는 경우를 고려하여 3시그마 관리한계선을 구하라.

2) 평균이 101로 변화한 후 이를 한 번의 타점으로 알 수 있는 확률은 얼마인가.

3) 분산을 관리하기 위해서는 $S^{2}$ 관리도를 사용하고자 한다. 이 경우 ???? 관리한계선을 구하라.

1) 수기 계산

• 평균과 분산을 알고 있을 경우 X Bar 관리도의 관리한계선은 아래와 같다.
  • $UCL = \mu + 3 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 100 + 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = 101$
  • $CL = \mu = 100$
  • $LCL = \mu - 3 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 100 + 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = 99$

1) Minitab 계산

• 측정 데이터가 없는 경우 Minitab 지원 안함

2) 수기 계산

• 평균이 101로 변한 후 한번의 타점으로 알 수 있는 확률 : 한번의 샘플군의 평균 값이 UCL보다 크거나 LCL보다 작을 확률
  • “1)“에서 구한 UCL = 101, LCL = 99를 이용
  • $P(X > 101) + P(X < 99) = P(Z > \frac{101-101}{\sqrt{1}/\sqrt{9}}) + P(Z < \frac{99-101}{\sqrt{1}/\sqrt{9}})=0.5000$

2) Minitab 계산

• 메뉴 : “그래프” → “확률 분포도”에서 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : $P(99 < X < 101)=0.5000$이므로 $P(X > 101) + P(X < 99) = 1-0.5000 = 0.5000$이다
  • 

3) 수기 계산

• 분산을 알고 있을 경우 s 관리도의 관리한계선은 아래와 같다. ($S^{2}$ 관리도는 무엇인지 모르겠음)
  • $$ \mathrm{UCL} = c_{4} \cdot \sigma + 3 \sigma \sqrt{1 - c_{4}^{ \ 2}} = B_{6} \cdot \sigma = 1.707 \times \sqrt{1} = 1.707$$
  • $$ \mathrm{CL} = c_{4} \cdot \sigma = 1 $$
  • $$ \mathrm{LCL} = c_{4} \cdot \sigma - 3 \sigma \sqrt{1 - c_{4}^{ \ 2}} = B_{5} \cdot \sigma = 0.232 \times \sqrt{1} = 0.232$$
  • 단, 관리도 계수 $B_{5} = c_{4} - 3 \cdot \sqrt{1 - c_{4}^{ 2}} $, $B_{6} = c_{4} + 3 \cdot \sqrt{1 - c_{4}^{ 2}}$ 이다. (관리도 계수표 참조)

3) Minitab 계산

• 측정 데이터가 없는 경우 Minitab 지원 안함

6시그마의 DMAIC에서 M은 어떤 활동을 의미하는지 설명하라.

• Measure : 측정

• 목적 : 성과에 대한 현수준 측정, 잠재 Xs 리스트 도출
  • Y의 현재능력은 얼마쯤 되며, Y에 영향을 주는 프로세스 입력 요소에는 어떤 것들이 있는가?
• 주요활동 : 현수준 파악, 잠재 Xs 도출
• 산출물 : 공정능력 분석 → 시그마 수준, 우선 순위화 된 Xs 목록

로트 크기가 500인 경우 5개의 무작위로 뽑아 검사를 통해 불량품이 없는 경우만 로트를 합격시킨다고 한다. 로트에 불량품이 1% 포함된 경우 이 로트가 합격될 확률을 구하라.

수기 계산

• 해당 로트는 초기하분포 $X \sim HG(500,500 \times 0.01,5)$를 따른다.
• 이 때 불량품이 없는 경우만 로트를 합격 시키므로 x는 0일 확률을 구한다.
• 초기하분포의 확률질량함수를 이용해 x는 0인 값을 찾으면
  • $$p(x)=\frac{\begin{pmatrix}M\\x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}N-M\\n-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$$
  • $$p(0)=\frac{\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}500-5\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}500\\5\end{pmatrix}}=0.9508$$

Minitab 계산

• 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “초기하 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 확률은 0.950797 이다.
  • 

다구치 방법에서 망목특성의 경우 어떻게 Parameter 설계를 실시하는지 절차를 설명하시오.

(이 문제는 복원중 일부 글자가 복원이 안되어 임의로 작성 하였습니다. 임의로 작성된 부분 : 규격 값, 표준편차 값)

내경치수가 주요한품질특성치로서 관리되고 있다. 이 치수에 대한 규격이 [97,103]로 주어져 있다. 그리고 공정에서는 시간당 100개의 부품이 생산된다. 공정에서 생산되는 부품의 치수는 정규분포를 따르고 평균이 100.5 그리고 표준편차가 1로 알려져 있다.

1) 생산된 100개 중에 최소한 부적합품이 하나 이상 포함되어 있을 확률을 구하라.

2) 평균을 100으로 조정한다면 부적합률은 얼마로 줄어 드는가?

1) 수기 계산

• 한개 생산시 불량이 나올 확률
  • $P(X < 97) + P(X > 103) = P(Z < \frac{97-100.5}{\srqt{1}}) + P(Z > \frac{103-100.5}{\sqrt{1}}) = 0.0064$
• 생산된 100개 중에 부적합품이 하나 이상일 확률 = 1 - 생산된 100개 중에 부적합품이 하나도 없을 확률
  • 생산된 제품 중 부적합품 수는 이항분포 $X \sim b(100,0.0064)$를 따른다.
  • 생산된 100개 중에 부적합품이 하나도 없을 확률
    • $$ p(x)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x}(1-p)^{n-x} $$
    • $$ p(0)=\begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}0.0064^{0}(1-0.0064)^{100-0} = 0.5262 $$
  • 생산된 100개 중에 부적합품이 하나 이상일 확률 = 1 - 0.5262 = 0.4738

1) Minitab 계산

• 한개 생산시 불량이 나올 확률
  • 메뉴 : “그래프” → “확률 분포도”에서 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : $P(97<X<103)=0.9936$이므로 $P(X>97)+P(X<103)=1-0.9936=0.0064$이다.
    • 
• 생산된 100개 중에 부적합품이 하나 이상일 확률 = 1 - 생산된 100개 중에 부적합품이 하나도 없을 확률
  • 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “이항 분포” 에서 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : 생산된 100개 중에 부적합품이 하나도 없을 확률 = 0.526209 → 1 - 0.526209 = 0.473791
    • 

2) 수기 계산

• 평균을 100으로 조정한다면 한개의 제품에 대한 부적합률은
  • $P(X < 97) + P(X > 103) = P(Z < \frac{97-100}{\srqt{1}}) + P(Z > \frac{103-100}{\sqrt{1}}) = 0.0027$

2) Minitab 계산

• 메뉴 : “그래프” → “확률 분포도”에서 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : $P(97<X<103)=0.9973$이므로 $P(X>97)+P(X<103)=1-0.9973=0.0027$이다.
  • 

실험계획법으로 실험하여 다음의 데이터를 얻었다.

1) $y_{1}$과 $y_{2}$에 관한 2차 반응표면식을 추정하고, 모형이 적합한지를 판단하라.

2) Desirability Function를 이용한 방법(Response Optimizer)을 사용하여 2개의 성능특성치에 대한 다중반응 최적화를 시도하라. 단 가중치는 1로 하고 중요도는 $y_{1}$이 $y_{2}$ 보다 2배 중요하다라고 가정한다.

1)

• 데이터 입력
  • 메뉴 : “통계분석” → “실험계획법” → “반응 표면 설계” → “반응 표면 설계 생성” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 데이터 입력 Sheet 생성 : 아래와 같이 데이터 입력 Sheet 생성
    • 
  • 데이터 입력 : 아래와 같이 데이터 입력
    • 

• $y_{1}$ 분석
  • 메뉴 : “통계분석” → “실험계획법” → “반응 표면 설계” → “반응 표면 설계 분석” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : $Y_{1} = -256.171 -0.708 A -0.370 B +2.838 C -0.001 B^{2} -0.082 C^{2} +0.002 AB + 0.054 AC + 0.021 BC$ 이고 적합성 p-value가 0.892로 상당히 높으므로 적합하다고 할 수 있다.
    • 

• $y_{2}$ 분석
  • 메뉴 : “통계분석” → “실험계획법” → “반응 표면 설계” → “반응 표면 설계 분석” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : $Y_{2} = -992.380 +3.200 A +0.569 B +27.255 C -0.014 A^{2} +0.004 B^{2} -0.177 C^{2} -0.012 AB +0.031 AC -0.021 BC$ 이고 적합성 p-value가 0.858로 상당히 높으므로 적합하다고 할 수 있다.
    • 

2)

• 메뉴 : “통계분석” → “실험계획법” → “반응 표면 설계” → “반응 최적화 도구” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 최적 조건은 $A=150, B=223.055, C=80$은 일 때 이고 이때 예측 반응 값은 $y_{1}=284.753, y_{2}=157.187$이다
  • 

주어진 측정자료로부터 측정기의 Repeatability and Reproducibility를 확인하고자 한다. 측정기로 참값이 50인 경우를 측정하면 53보다 크다고 할 확률은 얼마인가?

• 산업공학 산업대학원
• 품질관리특론