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품질관리특론-중간고사
2012년 1학기 품질관리특론-중간고사
1번 문제 & 답
다음의 자료는 재료의 코팅종류를 다르게 하여 4번씩 반복하여 재료의 전도성을 측정한 결과이다.(유의수준은 0.05임)
| 코팅타입 | 전도성 | |||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 143 | 141 | 150 | 146 |
| 2 | 142 | 149 | 137 | 143 |
1) 두 경우 분산이 같은가?
2) 평균은 같다고 할 수 있는가?
3) 분산이 동일하다는 가정하에서 타입2에서 전도성이 150을 넘을 확률은 얼마인가?
1) 수기 계산
-
- $$H_{0} : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$$
-
- $$ F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} $$
- $$ F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} = \frac{3.9158^{2}}{4.9244^{2}} = 0.6323 $$
- 단 $S^{2}$은 표본분산
-
- $$ H_{1} : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \ \rightarrow \ f_{0} > F_{\alpha/2} (n_{1} - 1, n_{2} - 1)$$
- $ f_{0} = 0.6323 < F_{0.025}(3,3) = 15.439 $이므로
- 단 $\alpha=0.05$, $n_{1}=4$, $n_{2}=4$일 때 F분포표 참조
1) Minitab 계산
- 데이터 입력
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “두 표본 분산” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-
2) 수기 계산
-
- $$H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$$
-
- $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{S_{p}\sqrt{1/n_{1} + 1/n_{2}}} = \frac{145 - 142.75}{4.4488 \sqrt{1/4+1/4}} = 0.7152$$
- 단 합동분산 $S_{p}^{2}$은 아래와 같다.
- $$ \begin{displaymath}\begin{split} S_{p}^{2} &= \frac{(n_{1} - 1)S_{1}^{2} + (n_{2} - 1)S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2} \\ &= \frac{3 \times 3.9158^{2} + 3 \times 4.9244^{2}}{4+4-2} = 19.7916 \end{split}\end{displaymath} $$ * $S_{p} = \sqrt{19.7916} = 4.4488$
-
- $$ H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{\alpha/2} (n_{1} + n_{2} - 2) $$
- $ | t_{0} | = 0.7152 < t_{0.025}(6) = 2.3060 $ 이므로
- 단 $\alpha=0.05$, $n_{1}=4$, $n_{2}=4$일 때 t분포표 참조
2) Minitab 계산
- 데이터 입력
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “2-표본 t검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-
3) 수기 계산
- 코팅 타입 2의 평균은 142.75 사용
- $P(Y > 150) = P(Z > \frac{150-142.75}{4.4488}) = P(Z > 1.6296) = 0.051551$ (표준정규분포표 참조)
3) Minitab 계산
- 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “정규 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 확률은 $1-0.948413 = 0.051587$
2번 문제 & 답
부품의 내경치수에 대한 규격은 [95,105]로 주어져 있다. 하루에 100개 생산된다. 무작위로 뽑은 부품 20개의 내경치수는 다음과 같이 주어져 있다. (유의수준은 0.05임)
| 103.2 | 96.6 | 106.5 | 100.6 | 102.5 | 94.0 | 102.1 | 99.4 | 101.9 | 104.5 |
| 101.5 | 102.1 | 104.0 | 96.9 | 100.2 | 99.0 | 101.0 | 97.4 | 100.9 | 107.8 |
2) 정규분포를 따른다고 할 수 있는가? 평균과 분산의 90% 신뢰구간을 구하라.
3) 정규분포 가정하에서 하루에 부적합품이 5개 이하일 확률을 구하라.
4) 평균이 100인가를 검정하고 이에 근거하여 공정능력지수를 구하라.
5) 분산을 감소시키고자 노력하였다. 이 활동 후 5개의 부품의 치수를 검사한 결과 (101.1, 102.3, 102.5, 101.9)를 얻었다. 과연 분산이 작아 졌다고 할 수 있는가?
6) 내경치수의 평균이 100이면 동일한 분산하에서 가장 부적합률이 적을 것이다. 평균검정(분산이 3으로 알려진 경우)을 위해 몇개의 부품을 측정하여야 하는가? 평균이 103일 때 잘못 판단할 확률이 20%를 만족하는 조건으로 정하라.
표본평균 $\overline{X} = 101.11 $
표본표준편차 $s = 3.3528$
표본분산 $s^{2} = 3.3528^{2} = 11.2413$
제품 규격 : [95,105]
1) 수기 계산
| 103.2 | 96.6 | 106.5 | 100.6 | 102.5 | 94.0 | 102.1 | 99.4 | 101.9 | 104.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101.5 | 102.1 | 104.0 | 96.9 | 100.2 | 99.0 | 101.0 | 97.4 | 100.9 | 107.8 |
-
- 20개의 제품 중 3개가 불량이므로 부적합률은 0.15
-
- $$ \left( \ \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ , \ \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ \right) $$
- $$ \left(0.15 - 1.645 \times \sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{20}} , 0.15 + 1.645 \times \sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{20}}\right) = (0.0187, 0.2813) $$
1) Minitab 계산
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “정규성 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 신뢰구간은 (0.042169, 0.343664)
주) 수기 계산 방법은 정규 근사 방식이라 Minitab과 결과가 다름
2) 수기 계산
- 정규성 검정을 손으로 계산하기는 어려움
-
- $$ \left( \overline{x} - t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \ \overline{x} + t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$
- $$ \left( 101.11 - 1.7291 \cdot \frac{3.3528}{\sqrt{20}}, \ 101.11 + 1.7291 \cdot \frac{3.3528}{\sqrt{20}} \right) = (99.8137, 102.406) $$
-
- $$ \left( \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2} (n-1)} \ , \ \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1 - \alpha/2} (n-1)} \right) $$
- $$ \left( \frac{19 \times 3.3528^{2}}{30.1435} \ , \frac{19 \times 3.3528^{2}}{10.1170} \right) = (7.0856, 21.1114) $$
2) Minitab 계산
-
- 데이터 입력
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “정규성 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-
-
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “1-표본 t 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 신뢰구간은 (99.809, 102.401)
-
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “단일 표본 분산” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 신뢰구간은 (7.1, 21.1)
3) 수기 계산
- 하루 생산량 : $n=100$
- 불량률
- 정규분포 가정시 불량률 : $P(95>X)+P(105<X) = P(\frac{95-101.11}{3.3528}>Z)+P(\frac{105-101.11}{3.3528}>Z)=0.1572$
-
- $$P(X < 0.786) = P(Z < \frac{0.786-15.72}{\sqrt{13.2488}}) = P(Z < -4.10287) \approx 0$$
3) Minitab 계산
- 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “이항 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 5개 이하일 확률은 : 0.0008588
4) 수기 계산
- 평균이 100 인지 검정
-
- $$H_{0} : \mu = \mu_{0}$$
-
- $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{S/\sqrt{n}} = \frac{101.11-100}{3.3528/\sqrt{20}}=1.4806$$
-
- $$ H_{1} : \mu \neq \mu_{0} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{1-\alpha/2} (n-1) $$
- $| \ t_{0} \ | = 1.4806 > t_{1-\alpha/2} (n-1) = $ 이므로
-
-
- $$ C_{p} = \frac{\mathrm{USL} - \mathrm{LSL}}{6 \cdot \sigma} = \frac{105-95}{6 \times 3.3528} = 0.4971$$
4) Minitab 계산
- 평균이 100 인지 검정
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “1-표본 t 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-
-
- 메뉴 : “통계분석” → “품질 도구” → “공정 능력 분석” → “정규 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 공정늘력지수 값인 Cp값이 0.44
5) 수기 계산
5) Minitab 계산
- 데이터 입력
- 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “두 표본 분산” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
-
6) 수기 계산
6) Minitab 계산
- 메뉴 : “통계분석” → “검정력 및 표본크기” → “1-표본 Z 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 차이 : $103 - 100 = 3$
- 표준편차 : $\sqrt{3} = 1.7321$
- 대립가설 : $\mu \neq \mu_{0}$
- 결과 : 최적의 표본크기는 3 이다.
3번 문제 & 답
자동차를 생산하는 경우 하나의 자동차에 나타나는 불량품의 수는 포아송분포를 따른다고 한다. (평균 3개) 하루 생산되는 20대의 자동차 수에 적어도 하나 이상의 결함이 있는 자동차가 1대 미만일 확률을 구하라.
수기 계산
-
- $$p(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} = \frac{3^{0} e^{-3}}{0!} = 0.0498$$
-
- $$ p(x)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x}(1-p)^{n-x} = \begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}0.0498^{0}(1-0.0498)^{20-0} = 0.3600 $$
Minitab 계산
- 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “포아송” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 한 대의 자동차에서 불량품이 0일 확률은 0.0497871
- 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “이항 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 20대의 자동차 모두에서 불량이 하나도 없을 확률은 0.360096
4번 문제
1) 주어진 측정 자료로부터 측정기의 Repeatability (반복성, 동일측정자), Reproducibility (재현성, 측정자간)를 구하라.
3) 측정기로 참값이 100인 부품을 측정하면 103보다 크다고 할 확률은 얼마인가?
4) 측정자간의 상관계수를 구하라.
| 부품 | 측정자 | 측정치 | 참값 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 21.1 | 20 |
| 1 | 1 | 22.0 | |
| 1 | 2 | 25.9 | |
| 1 | 2 | 22.7 | |
| 2 | 1 | 30.6 | 30 |
| 2 | 1 | 31.0 | |
| 2 | 2 | 28.5 | |
| 2 | 2 | 33.0 | |
| 3 | 1 | 51.2 | 50 |
| 3 | 1 | 51.1 | |
| 3 | 2 | 48.3 | |
| 3 | 2 | 46.7 |
1)
- 데이터 입력
- 메뉴 : “통계분석” → “품질 도구” → “Gage 연구” → “Gage R&R (교차) 연구” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
- 결과 : 반복성(Repeatability)는 1.51%, 재현성(Reproducibility)은 1.99%이다.
2)
- 메뉴 : “통계분석” → “품질 도구” → “Gage 연구” → “Gage 선형성 및 치우침 연구” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인 (15.3729는 “1)“에서 나온 총 Gage R&R의 6*SD 값임)
- 결과 : 선형성이 11.3%이므로 개선이 요구된다. (선형성%이 1% 미만이면 양호, 10% 이상 이면 개선 필요, 1~9% 이면 주변 여건에 따라 적절히 개선)
3)