품질관리특론-중간고사-2011년2학기

다음의 자료는 재료의 코팅종류를 다르게 하여 4번씩 반복하여 재료의 전도성을 측정한 결과이다.(유의수준은 0.05임)

1) 두 경우 분산이 같은가?

2) 평균은 같다고 할 수 있는가?

3) 분산이 동일하다는 가정하에서 타입2에서 전도성이 150을 넘을 확률은 얼마인가?

1) 수기 계산

• 두 모집단의 분산 비교시 “두 표본 F검정“을 사용

• 귀무가설
  • $$H_{0} : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$$
• 검정통계량
  • $$F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}$$
  • $$F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} = \frac{3.9158^{2}}{4.9244^{2}} = 0.6323$$
    • 단 $S^{2}$은 표본분산
• 대립가설 및 기각역
  • $$H_{1} : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \ \rightarrow \ f_{0} > F_{\alpha/2} (n_{1} - 1, n_{2} - 1)$$
  • $f_{0} = 0.6323 < F_{0.025}(3,3) = 15.439$이므로
    • 단 $\alpha=0.05$, $n_{1}=4$, $n_{2}=4$일 때 F분포표 참조
  • 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 두 모집단의 분산이 같다고 할 수 있다.

1) Minitab 계산

• 데이터 입력
  • 
• 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “두 표본 분산” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : p-value가 0.716 이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 두 모집단의 분산이 같다고 할 수 있다.
  • 

2) 수기 계산

• 두 모집단의 평균 비교시 ”두 표본 t검정“을 사용 (분산 모름, 두 분산 “1)” 결과에 의거 같다고 가정)

• 귀무가설
  • $$H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$$

• 검정통계량
  • $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{S_{p}\sqrt{1/n_{1} + 1/n_{2}}} = \frac{145 - 142.75}{4.4488 \sqrt{1/4+1/4}} = 0.7152$$
    • 단 합동분산 $S_{p}^{2}$은 아래와 같다.
    • $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{p}^{2} &= \frac{(n_{1} - 1)S_{1}^{2} + (n_{2} - 1)S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2} \\ &= \frac{3 \times 3.9158^{2} + 3 \times 4.9244^{2}}{4+4-2} = 19.7916 \end{split}\end{displaymath}$$ * $S_{p} = \sqrt{19.7916} = 4.4488$

• 대립가설과 기각역
  • $$H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{\alpha/2} (n_{1} + n_{2} - 2)$$
  • $| t_{0} | = 0.7152 < t_{0.025}(6) = 2.3060$ 이므로
    • 단 $\alpha=0.05$, $n_{1}=4$, $n_{2}=4$일 때 t분포표 참조
  • 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 두 모집단의 평균이 같다고 할 수 있다.

2) Minitab 계산

• 데이터 입력
  • 
• 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “2-표본 t검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : p-value가 0.501 이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 두 모집단의 평균은 같다고 할 수 있다.
  • 

3) 수기 계산

• 두 모집단의 분산이 동일하다고 가정 하므로 합동분산인 $4.4488^2$을 분산으로 사용
• 코팅 타입 2의 평균은 142.75 사용

• $P(Y > 150) = P(Z > \frac{150-142.75}{4.4488}) = P(Z > 1.6296) = 0.051551$ (표준정규분포표 참조)

3) Minitab 계산

• 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “정규 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 확률은 $1-0.948413 = 0.051587$
  • 

부품의 내경치수에 대한 규격은 [95,105]로 주어져 있다. 하루에 100개 생산된다. 무작위로 뽑은 부품 20개의 내경치수는 다음과 같이 주어져 있다. (유의수준은 0.05임)

1) 부적합률은 얼마인가? 90% 신뢰구간을 구하라.

2) 정규분포를 따른다고 할 수 있는가? 평균과 분산의 90% 신뢰구간을 구하라.

3) 정규분포 가정하에서 하루에 부적합품이 5개 이하일 확률을 구하라.

4) 평균이 100인가를 검정하고 이에 근거하여 공정능력지수를 구하라.

5) 분산을 감소시키고자 노력하였다. 이 활동 후 5개의 부품의 치수를 검사한 결과 (101.1, 102.3, 102.5, 101.9)를 얻었다. 과연 분산이 작아 졌다고 할 수 있는가?

6) 내경치수의 평균이 100이면 동일한 분산하에서 가장 부적합률이 적을 것이다. 평균검정(분산이 3으로 알려진 경우)을 위해 몇개의 부품을 측정하여야 하는가? 평균이 103일 때 잘못 판단할 확률이 20%를 만족하는 조건으로 정하라.

표본평균 $\overline{X} = 101.11$

표본표준편차 $s = 3.3528$

표본분산 $s^{2} = 3.3528^{2} = 11.2413$

제품 규격 : [95,105]

1) 수기 계산

• 부적합률
  • 20개의 제품 중 3개가 불량이므로 부적합률은 0.15

• 부적합률에 대한 90% 신뢰구간은
  • $$\left( \ \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ , \ \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \ \right)$$
  • $$\left(0.15 - 1.645 \times \sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{20}} , 0.15 + 1.645 \times \sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{20}}\right) = (0.0187, 0.2813)$$

1) Minitab 계산

• 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “정규성 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 신뢰구간은 (0.042169, 0.343664)
  • 

주) 수기 계산 방법은 정규 근사 방식이라 Minitab과 결과가 다름

2) 수기 계산

• 정규성 검정을 손으로 계산하기는 어려움

• 평균의 90% 신뢰구간 (모분산을 모를 때)
  • $$\left( \overline{x} - t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \ \overline{x} + t_{\alpha / 2} (n - 1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$$
  • $$\left( 101.11 - 1.7291 \cdot \frac{3.3528}{\sqrt{20}}, \ 101.11 + 1.7291 \cdot \frac{3.3528}{\sqrt{20}} \right) = (99.8137, 102.406)$$

• 분산의 90% 신뢰구간
  • $$\left( \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2} (n-1)} \ , \ \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1 - \alpha/2} (n-1)} \right)$$
  • $$\left( \frac{19 \times 3.3528^{2}}{30.1435} \ , \frac{19 \times 3.3528^{2}}{10.1170} \right) = (7.0856, 21.1114)$$

2) Minitab 계산

• 정규성 검정
  • 데이터 입력
    • 
  • 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “정규성 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : p-value가 0.882 이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 모집단은 정규분포를 따른다고 할 수 있다.
    • 

• 평균의 90% 신뢰구간
  • 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “1-표본 t 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : 신뢰구간은 (99.809, 102.401)
    • 

• 분산의 90% 신뢰구간
  • 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “단일 표본 분산” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : 신뢰구간은 (7.1, 21.1)
    • 

3) 수기 계산

• 하루 생산량 : $n=100$
• 불량률
  • 정규분포 가정시 불량률 : $P(95>X)+P(105<X) = P(\frac{95-101.11}{3.3528}>Z)+P(\frac{105-101.11}{3.3528}>Z)=0.1572$

• n이 충분히 크므로 이항분포 $b(100, 0.1572)$는 정규분포 $N(15.72, 13.2488)$로 근사 가능 (이항분포를 정규분포로 근사 참고)
• 즉 100개중 5개 이하 나오는 확률은 정규분포 $N(15.72, 13.2488)$에서 0.786 이하일 확률과 같음
  • $$P(X < 0.786) = P(Z < \frac{0.786-15.72}{\sqrt{13.2488}}) = P(Z < -4.10287) \approx 0$$

3) Minitab 계산

• 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “이항 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 5개 이하일 확률은 : 0.0008588
  • 

4) 수기 계산

• 평균이 100 인지 검정
  • 귀무가설
    • $$H_{0} : \mu = \mu_{0}$$
  • 검정통계량
    • $$T_{0} = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{S/\sqrt{n}} = \frac{101.11-100}{3.3528/\sqrt{20}}=1.4806$$
  • 대립가설과 기각역
    • $$H_{1} : \mu \neq \mu_{0} \ \rightarrow \ | \ t_{0} \ | > t_{1-\alpha/2} (n-1)$$
    • $| \ t_{0} \ | = 1.4806 > t_{1-\alpha/2} (n-1) =$ 이므로
    • 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 모집단의 평균은 100 이라고 할 수 있다.

• 공정능력지수는
  • $$C_{p} = \frac{\mathrm{USL} - \mathrm{LSL}}{6 \cdot \sigma} = \frac{105-95}{6 \times 3.3528} = 0.4971$$

4) Minitab 계산

• 평균이 100 인지 검정
  • 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “1-표본 t 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : p-value가 0.157 이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉 모집단의 평균은 100 이라고 할 수 있다.
    • 

• 공정능력지수
  • 메뉴 : “통계분석” → “품질 도구” → “공정 능력 분석” → “정규 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
    • 
  • 결과 : 공정늘력지수 값인 Cp값이 0.44
    • 

5) 수기 계산

5) Minitab 계산

• 데이터 입력
  • 
• 메뉴 : “통계분석” → “기초 통계” → “두 표본 분산” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : p-value가 0.009 이므로 귀무가설을 기각 한다. 즉 모집단의 분산이 작아졌다고 할 수 있다.
  • 

6) 수기 계산

• 검정력 또는 2종 오류의 확률을 만족하는 표본크기 계산은 손으로 계산이 어려움

6) Minitab 계산

• 메뉴 : “통계분석” → “검정력 및 표본크기” → “1-표본 Z 검정” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
    • 차이 : $103 - 100 = 3$
    • 검정력 : $1 - \beta = 1 - 0.2 = 0.8$ ($\beta$는 2종 오류가 일어날 확률 확률)
    • 표준편차 : $\sqrt{3} = 1.7321$
    • 대립가설 : $\mu \neq \mu_{0}$
    • 유의수준 : $\alpha = 0.05$ ($\alpah$는 1종 오류가 일어날 확률)
• 결과 : 최적의 표본크기는 3 이다.
  • 

자동차를 생산하는 경우 하나의 자동차에 나타나는 불량품의 수는 포아송분포를 따른다고 한다. (평균 3개) 하루 생산되는 20대의 자동차 수에 적어도 하나 이상의 결함이 있는 자동차가 1대 미만일 확률을 구하라.

수기 계산

• 한 대의 자동차에서 불량품이 0일 확률 (포아송분포의 확률질량함수 이용)
  • $$p(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} = \frac{3^{0} e^{-3}}{0!} = 0.0498$$

• 20대의 자동차 수에 적어도 하나 이상의 결함이 있는 자동차가 1대 미만일 확률 → 20대의 자동차 모두에서 불량이 하나도 없을 확률 (이항분포의 확률질량함수 이용)
  • $$p(x)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x}(1-p)^{n-x} = \begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}0.0498^{0}(1-0.0498)^{20-0} = 0.3600$$

Minitab 계산

• 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “포아송” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 한 대의 자동차에서 불량품이 0일 확률은 0.0497871
  • 

• 메뉴 : “계산” → “확률 분포” → “이항 분포” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 20대의 자동차 모두에서 불량이 하나도 없을 확률은 0.360096
  • 

1) 주어진 측정 자료로부터 측정기의 Repeatability (반복성, 동일측정자), Reproducibility (재현성, 측정자간)를 구하라.

2) 측정기의 편의와 선형성을 평가하라.

3) 측정기로 참값이 50인 부품을 측정하면 53보다 크다고 할 확률은 얼마인가?

4) 측정자간의 상관계수를 구하라.

1)

• 데이터 입력
  • 
• 메뉴 : “통계분석” → “품질 도구” → “Gage 연구” → “Gage R&R (교차) 연구” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 반복성(Repeatability)는 1.51%, 재현성(Reproducibility)은 1.99%이다.
  • ANOVA Table에서 부품에 의한 변동은 유의하고, 측정자 및 측정자와 부품의 교호작용은 유의하지 않아야 바람직한 측정 시스템이다. 하지만 측정자와 부품의 교호작용에 대한 p-value가 0.093으로 유의 할 수 있으므로 측정시스템이 양호하다고 할 수는 없다.
  • 
  • 

2)

• 메뉴 : “통계분석” → “품질 도구” → “Gage 연구” → “Gage 선형성 및 치우침 연구” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인 (15.3729는 “1)“에서 나온 총 Gage R&R의 6*SD 값임)
  • 
• 결과 : 선형성이 11.3%이므로 개선이 요구된다. (선형성%이 1% 미만이면 양호, 10% 이상 이면 개선 필요, 1~9% 이면 주변 여건에 따라 적절히 개선)
  • 

3)

• 앞의 결과를 통해 Gage 선형성 분석 결과 오차에 대한 회귀식은 $y=4.782-0.11321x$이다. 즉 참값이 50인 부품을 측정 시 평균적으로 $49.1215$로 나오고 이때 분산은 $2.5621^{2}$이다
• 메뉴 : “그래프” → “확률 분포도” 선택 후 아래와 같이 입력 후 확인
  • 
• 결과 : 현 측정시스템에서 참값이 50인 제품을 측정하여 53 이상으로 판단할 확률은 0.0650이다.
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4)

• 아시는 분 moonrepeat@gmail.com으로 연락 바람

FMEA에서 심각도 8, 발생도 6, 검출도 4이다. 3개중 하나를 0.5 감소시킬 수 있다고 하자. 어느것을 줄이는 것이 RPN을 가장 적게 하는가?

RPN = 심각도 * 발생도 * 검출도

RPN은 낮을 수록 좋음

• 심각도를 0.5 줄일 경우 : 7.5 * 6 * 4 = 180
• 발생도를 0.5 줄일 경우 : 8 * 5.5 * 4 = 176
• 검출도를 0.5 줄일 경우 : 8 * 6 * 3.5 = 168

수치가 가장 작은 검출도를 줄일는 것이 RPN을 줄이는데 유리하다.

• 부산대학교 산업공학 산업대학원
• 품질관리특론