분산 (Variance)

정의

분산은 평균을 중심으로 자료의 흩어진 정도가 어느 정도인지를 측정하는 것이다. 분산이란 각 값으로부터 평균을 뺀 편차를 제곱한 후, 그 수를 모두 더하여 총 자료수로 나눈 값이다.

확률변수 $X$의 분산 $Var(X)$는 아래와 같이 구한다.

$$ \begin{displaymath}\begin{split} Var(X) &= E \{ X - E(X) \}^{2} \\ &= E \{ (X - \mu)^{2} \} \\ &= E(X^{2}) - \mu^{2} \\ &= \sigma^{2} \end{split}\end{displaymath} $$ ===== 유용한 식 1 ===== * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var[[h(X)]] &= E \{ h(X) - E[[h(X)]] \}^{2} \\ &= E \{ [[h(X)]]^{2} \} - \{ E[[h(X)]] \}^{2} \end{split}\end{displaymath} $$ * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var(aX + b) &= E \{ (aX+b) - E(aX + b) \}^{2} \\ &= E[[aX+b - aE(X) - b]]^{2} \\ &= a^{2} E \{ (X - \mu)^{2} \} \\ &= a^{2} \sigma^{2} \end{split}\end{displaymath} $$ ===== 유용한 식 2 ===== [[모집단]]의 [[분포]]를 모를 경우 * $$ Var(S^{2}) = \frac{1}{n} \left\mu_{4} - \sigma^{4} \frac{(n-3)}{(n-1)} \right $$ * 단, $\mu_{k}$는 $k$차 중심적률

분포	분산
베르누이분포	$$p(1-p)$$
이항분포	$$np(1-p)$$
음이항분포	$$\frac{r(1-p)}{p^{2}}$$
기하분포	$$\frac{1-p}{p^{2}}$$
초기하분포	$$n \left( \frac{M}{N} \right) \left( \frac{N-M}{N} \right) \left( \frac{N-n}{N-1} \right)$$
포아송분포	$$\lambda$$
다항분포	$$n_{i} p_{i} (1 - p_{i})$$
균일분포	$$\frac{(b-a)^{2}}{12}$$
삼각형분포	$$\frac{1}{18} (a^{2} + m^{2} + b^{2} - am - ab - mb)$$
정규분포	$$\sigma^{2}$$
절반정규분포	$$\frac{\pi - 2}{2 \theta^{2}}$$
지수분포	$$\lambda^{-2}$$
어랑분포
감마분포	$$\alpha \beta^{2}$$
베타분포	$$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}$$
와이블분포	$$\alpha^{2} \left[[ \Gamma \left( 1+\frac{2}{\beta} \right) - \Gamma^{2} \left( 1+\frac{1}{\beta} \right) \right]]$$
대수정규분포	$$e^{2 \mu + \sigma^{2}} \ (e^{\sigma^{2}} - 1})$$
맥스웰분포	$$\frac{\alpha^{2} (3 \pi -8)}{\pi}$$
레일리분포	$$\frac{4 - \pi}{2} s^{2}$$
라플라스분포	$$2b^{2}$$
카이분포	$$\frac{2 \left[[ \Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) \cdot \Gamma \left( 1 + \frac{1}{2} \nu \right) - \Gamma^{2} \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) \right]]}{\Gamma^{2} \left( \frac{1}{2} \nu \right)}$$
카이스퀘어분포	$$2 \nu$$
t분포	$$\frac{\nu}{\nu - 2}$$
F분포	$$\frac{2 \nu_{2}^{ \ 2} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{1} (\nu_{2} - 2)^{2} (\nu_{2} - 4)}$$