연속형 확률변수 (Continuous Random Variable)
정의
확률밀도함수 (Probability Density Function : PDF)
정의
확률변수 $X$의 분포함수 $F$가 연속함수이고, 임의의 실수 $x$에 대해
를 만족하는 비음의 함수 $f$가 존재할 때, $X$를 연속형 확률변수라 하고 $f$를 확률밀도함수라 함다.
함수 $f(x)$가 연속형 확률변수의 확률밀도함수가 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
$$f(x) \geq 0 \ , \ x \in R$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = 1$$
누적분포함수 (Cumulative Distribution Function : CDF)
정의
$X$가 표본공간 $S$상에 정의된 확률변수일 때,
로 정의되는 함수 $F$를 $X$의 누적분포함수라 하고, 분포함수라고도 한다.
함수 $F$가 누적분포함수이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. ( $a , b$ 는 임의의 실수)
$a < b$ 이면 $F(a) \leq F(b)$ (비감소)
$\lim_{h \rightarrow +0} F(a+h) = F(a)$ (우측으로부터 연속)
$ F(-\infty) = 0 \ , \ F(+\infty) = 1 $
확률변수 $X$의 누적분포함수를 $F$라 할 때, $a < b$인 임의의 두 실수 $a , b$에 대해 다음이 성립한다. ($F(a-) = \lim_{h \rightarrow +0} F(a-h) $)
$ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) $
$ P(X = a) = F(a) - F(a-) $