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이산형 분포 (Discrete Distribution)
정의
이산형 확률변수 (Discrete Random Variable)
정의
확률질량함수 (Probability Mass Function : PMF)
정의
$X$가 이산형 확률변수일 때,
$ p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} p(X = x) & \ x \in R_{x} \\ 0 & \ x \notin R_{x} \end{array} $ $ p(x) = \left \{ \begin{array}{ll} p(X = x) & \ x \in R_{x} \\ 0 & \ x \notin R_{x} \end{array} $
로 정의되는 함수 $p(x)$ 를 $X$의 확률질량함수라 하고, 확률함수라고도 한다.
함수 $p(x)$가 이산형 확률변수의 확률함수가 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
- $p(x) \geq 0$ , $x$ 는 임의의 실수
- $\sum_{x \in R_{x}} p(x) = 1$
누적분포함수 (Cumulative Distribution Function : CDF)
정의
- $$ F(x) = P(X \leq x) = P( \{ w : X(w) \leq x \} ) \ , \ x \in R $$
로 정의되는 함수 $F$를 $X$의 누적분포함수라 하고, 분포함수라고도 한다.
함수 $F$가 누적분포함수이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. ( $a , b$ 는 임의의 실수)
- $a < b$ 이면 $F(a) \leq F(b)$ (비감소)
- $\lim_{h \rightarrow +0} F(a+h) = F(a)$ (우측으로부터 연속)
- $ F(-\infty) = 0 \ , \ F(+\infty) = 1 $
확률변수 $X$의 누적분포함수를 $F$라 할 때, $a < b$인 임의의 두 실수 $a , b$에 대해 다음이 성립한다. ($F(a-) = \lim_{h \rightarrow +0} F(a-h) $)
- $ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) $
- $ P(X = a) = F(a) - F(a-) $