감마분포 (Gamma Distribution)

• 지수분포의 확장판

$\alpha$ : 모양 매개변수

$\beta$ : 크기 매개변수

$$X \sim G(\alpha , \beta)$$

• $$\alpha \in ( \ 0 \ , \ \infty \ )$$
• $$\beta \in ( \ 0 \ , \ \infty \ )$$

$$x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ )$$

$$f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^\alpha} \right] \cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta}$$

$$F(x) = P \left( \ \alpha \ , \ \frac{x}{\beta} \ \right)$$

단, $P \left( \ a \ , \ b \ \right)$는 정칙 감마함수이다.

$$E(X) = \alpha \beta$$

$$Mo = (\alpha - 1) \beta$$

$$Var(X) = \alpha \beta^{2}$$

$$\gamma_{1} = \frac{2}{\sqrt{\alpha}}$$

$$\gamma_{2} = \frac{6}{\alpha}$$

$$\phi \ (t) = (1-\beta \cdot i \cdot t)^{-\alpha}$$

$$M(t) = (1-\beta \cdot t)^{-\alpha}$$

1. 재생성을 가진다.
   • $X_{i} \sim G(\alpha_{i},\beta)$이면 $\sum X_{i} \sim G(\sum \alpha_{i},\beta)$이 성립한다.

• 지수분포와 감마분포 관계
• 감마분포와 카이스퀘어분포 관계
• 감마분포와 포아송분포 관계

• 분포
• 연속형 분포