기대값 (Expectation, Expected Value)

확률변수가 주어졌을 때 동일한 확률실험을 무한히 수행한 결과들 평균의 기대치를 의미한다.

확률변수 $X$가 이산형(이산형 확률변수)일 때, $X$의 기대값 $E(X)$는 아래와 같이 정의된다.

• $$ E(X)= \sum_{x \in R_{x}} x \cdot p(x) $$

$g(X)$를 이산형 확률변수 $X$의 함수라 하고 그 기대값이 존재할 때, $g(X)$의 기대값은 아래와 같이 구한다.

• $$ E[ \ g(X) \ ] = \sum_{x \in R_{x}} g(x) \cdot p(x) $$

확률변수 $X$가 연속형(연속형 확률변수)일 때, $X$의 기대값 $E(X)$는 아래와 같이 정의된다.

• $$ E(X)= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $$

$g(X)$를 연속형 확률변수 $X$의 함수라 하고 그 기대값이 존재할 때, $g(X)$의 기대값은 아래와 같이 구한다.

• $$ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) \ dx $$

확률변수 $X$와 임의의 상수 $c$에 대해서 아래와 같은 결과가 성립한다.

1. $$ E(c) = c $$
2. $$ E[ \ c \cdot g(X) \ ] = c \cdot E[ \ g(X) \ ] $$
3. $$ E[ \ h(X) + g(X) \ ] = E[ \ h(X) \ ] + E[ \ g(X) \ ] $$

모집단의 분포와 관계없이 성립하는 기대값

1. $$ E(\overline{x}) = \mu $$
2. $$ E(S^{2}) = \sigma^{2} $$
3. $$ E(\overlin{s} / c_{4}) = \sigma $$
4. $$ E(\overline{R} / d_{2}) = \sigma $$

모집단이 정규분포를 따를 때

1. $$ E(W) = d_{2} $$
   • 단, $W$는 상대범위